q???由傅利叶公式

dtdx

q??得

c1??r?0?t1?t2??1??0?t1?t2??

b2r?r.ln??1r??2?????2-34 设一平板厚为?，其两侧表面分别维持在温度t1及t2。在此温度范围内平板的局部导热

0系数可以用直线关系式来表示。试导出计算平板中某处当地热流密度的表

达式，并对b>0,b=0及b<0的三种情况画出温度分布的示意曲线。

?(t)??(1?bt)r2-35 一圆筒体的内外半径分别为i及

r0，相应的壁温为ti及t0，其导热系数与温度关系可表

0示为的形式，式中?及t均为局部值。试导出计算单位长度上导热热流量的

表达式及导热热阻的表达式。

?(t)??(1?bt)22-36 q=1000W/m的热流沿x方向穿过厚为20mm的平板（见附图）。已知x=0mm,10mm,20mm处的温度分别为100℃，60℃及40℃。试据此确定材料导热系数表达式平均温度）中的

???0(1?b)（t为

?0及b。

t?100?60?802℃

解：x=0mm,x=10mm处的平均温度又

???0(1?b) 所以热量

1000?q??0?1?80b?0.02??t1?t2??

即

同理x=10mm,x=20mm处得

?100?60? （1）

1000???0?1?50b?0.02?60?40? （2）

联立得b=-0.009

?0?0.687

2-37 设某种材料的局部导热系数按

?(t)??0(1?bt)的关系式来变化，对于由该材料做成的

一块厚为?的无内热源的平板，试：

导出利用两侧面温度t1(x?0),t2(x??)计算导热量的公式； 证明下列关系式成立：

???12x?2??22??1

其中?1?2为相应于t1t2的导热系数，?为x处的导热系数。

导出平板中温度沿x方向变化的下列两个公式：

1?2x22?t(x)??????121???b???0

??1/2?1b

2qx1?1?t(x)???t1???b?b??0

22-38一厚δ的平壁，两侧面分别维持在恒定的温度t1、t2。平壁的导热系数是温度的函数：λ（t）=λ0（1+βt2）。试对稳态导热给出热流密度的计算式。 解：

一维有内热源的导热

2-39 试建立具有内热源??x?，变截面，变导热系数的一维稳态导热问题的温度场微分方程式（参考附图）。

解：一维代入微分方程式为

2-40 试由导热微分方程出发，导出通过有内热源的空心柱体的稳态导热热量计算式及壁中的温度分布。?为常数。

解：有内热源空心圆柱体导热系数为常数的导热微分方程式为

d??dt?????Ax??x?????x??0dx??dx???

经过积分得

1???t????r????0r?r??r?

2?

r?r0,t?tw;r?0,t?t0 因为

所以得

t?c1lnr?c2?r?r?对其求导得

?r03/??r03/???r3t0?tw??t0?tw??t?lnr?t0??lnr0?1lnr0?1?

2-41确定附图所示氧化铀燃燃料棒的最大热功率。已知：氧化铀燃料棒的最高温度不能高于1600℃，冷却水平均温度为110℃，表面传热系数为12000W/(㎡·K)，氧化铀燃料棒与包覆它的锆锡合金层间的接触热阻为2.22×10-4㎡·K/W。包覆层的内外半径为6.1㎜及6.5㎜，氧化铀燃料棒和锆锡合金的导热系数分别为7.9W/(m·K)、14.2W/(m·K)。 解：

2-42 一具有内热源?外径为0的实心圆柱，向四周温度为t?的环境散热，表面传热系数为h。试列出圆柱体中稳态温度场的微分方程式及边界条件，并对?为常数的情形进行求解。 解：利用2-33题的结果立即可得温度场应满足的微分方程为：

rddt?(r)?0()?r?drdr（设?为常数），

dtdtr?0，?0；r?r0，???h(t?tf)。drdr其边界条件为：

?

dt?h(t?tf)。?dr对于?为常数的情形，积分一次得：

?r2?dt?0t?c1lnr??c24?再积分一次得： 由r=0，dr，得c1?0；

???r2??r0?dt???h(t?tf)，得?h???c2?tf?dr2?4?r?r??， 0，由

??r02??r0?r0?c2????tf2h4?2h由此得：。

ACr2-43 在一厚为2b，截面积为

的金属薄条中有电流通过。金属条置于不导电的沸腾液体中。

2设沸腾换热表面传热系数是均匀的，金属条的电阻率为?（单位为?.m/m），导热系数为?〔单位为W/(m.K)〕，物性为常数。试证明该金属条的截面平均温度要比表面温度高

2I2?b2/3?AC。金属条的端部散热不予考虑。

?(r)???(1?Ar)??rr?r0处?02-44 一半径为0的实心圆柱，内热源为，0,A为常数。在

t?t0。试导出圆柱体中的温度分布。

??1???t????r????0解： r?r??r? (1)

dt?0dxr=0, (2) r?r0,t?t0 (3)

三式联立最终可解得

?0?23t?qr0?r2?4Ar0?r3?t036

t,t?，2-45 一厚为?的大平板具有均匀内热源?X=0及X=?处的表面分别与温度为f1f2的流

??????体进行对流换热，表面传热系数分别为h1及h2。试导出平板中温度分布的解析表达式，并据此导出温度最高点的位置。对于h1=h2,tf1＝

中的温度分布曲线。

tf2及

h1?h2,tf2?tf1的情形定性地画出平板

?＝2-46 一厚为7cm的平壁，一侧绝热，另一侧暴露于温度为30℃的流体中，内热源?630.3?10W/m。对流换热表面传热系数为450W/(m.K)，平壁的导热系数为18W/(m.K)。试确定平壁中的最高温度及其位置。

2????0e?ax??2-47 核反应堆的辐射防护壁因受射线的照射而发热，这相当于防护壁内有的

??内热源，其中0是X=0的表面上的发热率，a为已知常数。已知x=0处t=t1,x=?处t=t2,

试导出该防护壁中温度分布的表达式及最高温度的所在位置。导热系数?为常数。

解：由题意导热微分方程

d2t??ax?2??0e?0dx

又x=0处t=t1,x=?处t=t2 积分并结合边界条件可得

?0e?ax?t?a?dt?0dx令

??e?a???0t1?t2?2?02?0?a?a??x?t1?2?a?

1?a??t1?t2?1?e?a??x??ln???a???0a??可得：当时，t最大。

2-48 核反应堆中一个压力容器的器壁可以按厚为?的大平壁处理。内表面（x=0处）绝热，

??t?外表面维持在恒定温度

2。

射线对该容器的加热条件作用可以用一个当量热源来表示，

????0e?ax?且，a为常数，x是从加热表面起算的距离。在稳态条件下，试：

导出器壁中温度分布的表达式。

确定x=0处的温度。 确定x=?处的热流密度。

?d2t???02?解： dx （1）

边界条件

dt?0dxr=0, (2) r?r0,t?t0三式联立得

(3)

?a?t?1?0?a2?e?e?ax????0a????x??t2?

t?x=0时；

1?0?a2?e?a??1???0a??t2

当x=?时，t?t2 所以

dt1??e?ax?1dxa?0

??2-49 一半径为r1的长导线具有均匀内热源，导热系数为?1。导线外包有一层绝缘材料，其外半径为r2,导热系数为?2。绝缘材料与周围环境间的表面传热系数为h，环境温度为t?。

q?????过程是稳态的，试：

列出导线与绝缘层中温度分布的微分方程及边界条件。 求解导线与绝缘材料中温度分布。

提示：在导线与绝缘材料的界面上，热流密度及温度都是连续的。