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§2.3 二元函数的极限与连续

定义 设二元函数有意义, 若存在 常数A,都有

则称A是函数

当点,当

在点的某邻域内

（即）时，

趋于点

或 或趋于点

时的极限,记作

。

的方式无关,即不

或 必须注意这个极限值与点论P以什么方

向和路径（也可是跳跃式地，忽上忽下地）趋向分接近, 就能 使

。只要P与 充

与A 接近到预先任意指定的程度。注意：点P趋于点点方

式可有无穷多

种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多（图8-7）。

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图8-7

同样我们可用归结原则,若发现点P按两个特殊的路径趋于点时,

极限

在该点

存在,但不相等, 则可以判定元函数极限不 存在的重要方法之一。

极限不存在。这是判断多

一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论, 在二元函数极

限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。 例如 若

有

, 其中 。

求多元函数的极限, 一般都是转化为一元函数的极限来求, 或利用夹逼定理

来计算。 例4 求

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。 解由于

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,

而

,根据夹逼定理知

,所以 。

a≠0)

。

解

例

5

求

（

。 例6 求。 解

由于理知

且,所以根据夹逼定

. 例7 研究函数

在点

处极限是否存在。 解 当x2+y2≠0时，我们研究函数，沿x→0,y=kx→0这一方式趋于

（0，0）的极限，有值，可得到不同的极 限值,所以极限

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,。很显然，对于不同的k 不存在,但

。

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注意：极限方式的

的区别, 前面两个求

本质是两次求一元函数的极限, 我们称为累次极限, 而最后一个是求二元函数的

极限,我们称为求二重极限。

例8 设函数极限都不存在,因 为对任何

,当

时,

。它关于原点的两个累次

的第二项不存在极限；同理对任何

时, 的第 一项也不存在极限,但是因此

。

由例7知, 两次累次极限存在, 但二重极限不存在。由例8可知,二重极限存

在,但二个累次极限不存在。我们有下面的结果: 定理1 若累次极限

都存在,则

三者相等（证明略）。 推论 若但不相等,则二重极限

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, 由于,

和二重极限

存在

不