高等数学

?1(b?a)2max{|f''(?1)|,|f''(?2)|}. 4所以至少存在一点??(a,b)，使得

|f??(?)|?4|

f(b)?f(a)|

(b?a)2§2.3 导数的应用

（甲）内容要点

一、判断函数的单调性 二、函数的极值

1、定义 设函数f?x?在?a,b?内有定义，x0是?a,b?内的某一点，则

如果点x0存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点x?x?x0?，总有f?x??f?x0?，则称f?x0?为函数f?x?的一个极大值，称x0为函数f?x?的一个极大值点；

如果点x0存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点x?x?x0?，总有f?x??f?x0?，则称f?x0?为函数f?x?的一个极小值，称x0为函数f?x?的一个极小值点。 函数的极大值与极小值统称极值。极大值点与极小值点统称极值点。 2、必要条件（可导情形）

设函数f?x?在x0处可导，且x0为f?x?的一个极值点，则f??x0??0

我们称满足f??x0??0的x0为f?x?的驻点，可导函数的极值点一定是驻点，反之不然。 极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。 3、第一充分条件

设f?x?在x0处连续，在0

0 1 如果在?x0??,x0?内的任一点x处，有f??x??0，而在?x0,x0???内的任一点x

处，有f??x??0，则f?x0?为极大值，x0为极大值点；

20 如果在?x0??,x0?内的任一点x处，有f??x??0，而在?x0,x0???内的任一点x

处，有f??x??0，则f?x0?为极小值，x0为极小值点；

30 如果在?x0??,x0?内与?x0,x0???内的任一点x处，f??x?的符号相同，那么

f?x0?不是极值，x0不是极值点

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4、第二充分条件

设函数f?x?在x0处有二阶导数，且f??x0??0，f???x0??0，则 当 f???x0??0，f?x0?为极大值，x0为极大值点 当 f???x0??0，f?x0?为极小值，x0为极小值点

三、函数的最大值和最小值

1．求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的方法。 首先，求出f(x)在(a,b)内所有驻点，和不可导点x1,...,xk。 其次计算f(x1),...,f(xk),f(a),f(b)

最后，比较f(x1),...,f(xk),f(a),f(b)，其中最大者就是f(x)在[a,b]上的最大值M；其中最小者就是f(x)在[a,b]上的最小值m。

2．最大（小）值的应用问题

首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间，然后再求出目标函数在区间内的最大（小）值。

四、凹凸性与拐点

1．凹凸的定义

设f(x)在区间Ⅰ上连续，若对任意不同的两点x1,x2，恒有

f(x1?x2x?x211)?[f(x1)?f(x2)] （f(1)?[f(x1)?f(x2)]），则称f(x)在Ⅰ上2222是凸（凹）的

2．曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。

五、渐近线及其求法 六、函数作图 七、曲率

（乙）典型例题 一、证明不等式

22例1．求证：当x?0时，(x?1)lnx?(x?1)

22证：令f(x)?(x?1)lnx?(x?1)

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只需证明x?0时，f(x)?0

易知f(1)?0，f?(x)?2xlnx?x?2?1， xf'(1)?0，由于f?(x)的符号不易判断，故进一步考虑 f??(x)?2lnx?1?1，f??(1)?2?0 x22(x2?1)再考虑f???(x)?

x3于是，当0?x?1时，f???(x)?0；

当1?x???时，f???(x)?0 由此可见，f??(1)?2是f??(x)的最小值。

由于f??(x)?2?0，这样x?0时，f?(x)单调增加 又因为f?(1)?0，所以0?x?1时，f?(x)?0；

1?x???时，f?(x)?0。

再由f(1)?0，可知0?x?1时，f(x)?0；

1?x???时，f(x)?0，这样证明了x?0时，f(x)?0。

证二：令f(x)?lnx?x?1（自己思考） x?1证三：令f(x)?(x?1)lnx?(x?1)（自己思考） 例2 设b?a?0，求证：lnb2(b?a)? ab?a证：令f(x)?(lnx?lna)(x?a)?2(x?a),(x?a)

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则f?(x)?1(x?a)?(lnx?lna)?2 x?a1x?af???x??2??2?0 (x?a)

xxx于是可知f?(x)在x?a时单调增加，又f?(a)?0，∴x?a时f?(x)?0，这样f(x)单调增加。因此，b?a?0时f(b)?f(a)?0，得证。

例3 设e?a?b?e2，证明ln2b?ln2a?4e2(b?a) 证一：对函数f(x)?ln2x在[a,b]上用拉格朗日中值定理

ln2b?ln2a?2ln??(b?a) （a???b）

再来证明?(t)?lntt在t?e时单调减少 ∵ ?'(t)?1?lntt2?0(t?e) 从而?(?)??(e2)，即ln?lne22??e2?e2

故ln2b?ln2a?4e2(b?a) 证二：设g(x)?ln2x?4lnxe2x，则g'(x)?2x?4e2 g''(x)?2?1?lnxx2

当x?e时，g??(x)?0，故g?(x)单调减少

g?(x)?g?(e2)?4e2?4e2?0 因此e?x?e2时，由g?(x)?0可知g(x)单调增加 题设e?a?b?e2，于是g(b)?g(a) 故ln2b?4e2b?ln2a?4224e2a，即lnb?lna?e2(b?a)

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