高等数学
再对g?(x)在[x1,x2]上用罗尔定理存在x3?(x1,x2)使g??(x3)?0与假设条件g??(x)?0矛盾。所以在(a,b)内g(x)?0 （2）由结论可知即f??(?)g(?)?f(?)g??(?)?0，因此
令F(x)?g(x)f'(x)?g'(x)f(x)，可以验证F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，F(a)?F(b)?0满足罗尔定理的三个条件 故存在??(a,b)，使F?(?)?0 于是f??(?)g(?)?f(?)g??(?)?0成立
二、用拉格朗日中值定理和柯西中值定理
例1 设f(x)在(??,??)内可导，且limf?(x)?e，lim(x??x??x?cx)?lim[f(x)?f(x?1)]
x??x?c 求c的值
解：由条件易见，c?0
c(1?)xx?cxecxlim()?lim??c?e2c x??x?cx??ce(1?)xx由拉格朗日中值定理，有
f(x)?f(x?1)?f?(?)[x?(x?1)]?f?(?)
其中?介于(x?1)与x之间，那么
lim[f(x)?f(x?1)]?lim f?(?)?e
x??x??(???)于是e
2c?e，2c?1，则c?1 2例2 设f(x)是周期为1的连续函数，在（0，1）内可导，且f(1)?0，又设M?0是f(x)在[1，2]上的最大值，证明：存在??(1,2)，使得f?(?)?2M。
证：由周期性可知f(0)?f(1)?f(2)?0，不妨假定x0?(1,2)而f(x0)?M?0，
对f(x)分别在[1, x0]和[x0, 2]上用拉格朗日中值定理，
存在?1?(1,x0)，使得f?(?1)?40
f(x0)?f(1) ①
x0?1 高等数学
存在?2?(x0,2)，使得f?(?2)?f(2)?f(x0) ②
2?x0 如果x0?(1,3f(x0))，则用①式，得f?(?1)??2M； 2x0?1如果x0?[3?f(x0),2)，则用②式，得f?(?2)??2M； 22?x0因此，必有??(1,2)，使得f?(?)?2M
例3 设f(x)在[0, 1]上连续，（0, 1）内可导，且f(0)?0，f(1)?1，证明：
（Ⅰ）存在??(0,1)，使得f(?)?1??
（Ⅱ）存在?,??(0,1)，???，使f?(?)f?(?)?1
证：（Ⅰ）令g(x)?f(x)?x?1，则g(x)在[0, 1]上连续，且g(0)??1?0，
g(1)?1?0，用介值定理推论存在??(0,1)，使g(?)?0，即f(?)?1??
（Ⅱ）在[0, ?]和[?，1]上对f(x)用拉格朗日中值定理，存在??(0,?)，使
得f?(?)?f(?)?f(0)1???
??0?f(1)?f(?)1?(1??)???
1??1??1??存在??(?,1)，???，使f?(?)? ∴ f?(?)?f?(?)?1
例4 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）内可导，且f?(x)?0，若极
限lim?x?af(2x?a)存在，证明：
x?a （1）在(a,b)内f(x)?0； （2）在(a,b)内存在?，使
b2?a2?
ba?f(x)dx2?； f(?) （3）在(a,b)内存在与（2）中?相异的点?，使
41
高等数学
f?(?)(b2?a2)?证：（1）因为lim?x?a2?bf(x)dx ?a??af(2x?a)f(2x?a)?0，由f(x)在[a,b]上存在，故lim?x?ax?a连续，从而f(a)?0. 又f?(x)?0知f(x)在(a,b)内单调增加，故
f(x)?f(a)?0,x?(a,b)
（2）设F(x)?x2,g(x)??xaf(t)dt(a?x?b)，
则g?(x)?f(x)?0，故F(x)，g(x)满足柯西中值定理的条件，于是在(a,b)内
存在点?，使
F(b)?F(a) ?g(b)?g(a)b2?a2?baf(t)dt??f(t)dtaa?(x2)?(?f(t)dt)?axx??，
即
b2?a2?ba?f(x)dx2? f(?) （3）因f(?)?f(?)?0?f(?)?f(a)，在[a,?]上应用拉格朗日中值定理，知在
(a,?)内存在一点?，使f(?)?f?(?)(??a)，从而由（2）的结论得
b2?a2?baf(x)dx2?2?，
?f(?)(??a)2?bf(x)dx.
??a?a 即有 f?(?)(b?a)?三、泰勒公式（数学一和数学二）
2例1 设f(x)在[-1，1]上具有三阶连续导数，且f(?1)?0，f(1)?1，f?(0)?0. 求证：???(?1,1)，使f???(?)?3. 证：麦克劳林公式 f?x??f?0??f??0?x?f???0?2f??????3x?x 2!3! 其中x?[?1,1]，?介于0与x之间。 ∵ f?(0)?0 0?f(?1)?f(0)?f??(0)1(?1)2?f???(?1)(?1)3(?1??1?0) 2!642
高等数学
1?f(1)?f(0)?f??(0)21?1?f???(?2)?13(0??2?1) 2!6 后式减前式，得f???(?1)?f???(?2)?6
∵ f???(x)在[?1,?2]上连续，设其最大值为M，最小值为m. 则m?1[f???(?1)?f???(?2)]?M 2再由介值定理，???[?1,?2]?(?1,1) 使f???(?)?1[f???(?1)?f???(?2)]?3 2例2 设函数f(x)在闭区间[a,b]上具有二阶导数，且f?(a)?f?(b)?0，试证：在(a,b)内至少存在一点?，使
|f??(?)|?4成立。
f(b)?f(a) 2(b?a)分析：因所欲证的是不等式，故需估计f??(?)，由于一阶泰勒公式
f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?1f??(?)(x?x0)2，（其中?在x0,x之间） 2含有f??(?)，因此应该从此入手. 再由f?(a)??f(b?)知0，应在
[a,a?ba?b],[,b]两个区间上分别应用泰勒公式，以便消去公式中的f?(x)项，同时又222能出现(b?a)项.
证：在[a,a?ba?b]与[,b]上分别用泰勒公式，便有 22f(a?ba?b1b?a2a?b. )?f(a)?f?(a)(?a)?f??(?1)(),a??1?222!22a?ba?b1b?a2a?b)?f(b)?f?(b)(?b)?f??(?2)(),??2?b. 222!22f(两式相减，得
1|f(b)?f(a)|?(b?a)2|f''(?1)?f''(?2)|
811?(b?a)2(|f''(?1)|?|f''(?2)|)
42 43