高等数学
?x2f(x)??,x?1,?1,x?1,
??2x?1,x?1,f?(x)???2x,x?1,?2,x?1,
三、运用各种运算法则求导数或微分
例1 设f(x)可微，y?f(lnx)?ef(x)，求dy 解：dy?f(lnx)def(x)?ef(x)df(lnx) ?f?(x)ef(x)f(lnx)dx?1f?(lnx)ef(x)xdx ?ef(x)[f?(x)f(lnx)?1xf?(lnx)]dx
例2 设y?xxx(x?0)，求
dydx 解：lny?xxlnx 对x求导，得
1yy??(xx)?lnx?1xxx 再令yx1?x，lny1?xlnx，对x求导，
1yy1??lnx?1，∴ (xx)??xx(lnx?1) 1于是dydx??xx(lnx?1)lnx?xx?1?xxx （x?0）
例3 设y?y(x)由方程xy?yx所确定，求
dydx 解：两边取对数，得ylnx?xlny，
对x求导，y?lnx?yx?lny?xyy? y?(xyy2?xynyy?lnx)?x?lny，y??x2?xylnx
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例4 设
?x?teu2sinududx?t? 求 ?2tudy?y??eln(1?u)du0?2dx42dxdt2tetsint2?etsint解： ??dydy2e2tln(1?2t)dt四、求切线方程和法线方程 例1 已知两曲线y?f(x)与y?程，并求limnf()。
n???arctanx0e?tdt在点（0，0）处的切线相同，写出此切线方
22ne?(arctanx)解：由已知条件可知f(0)?0，f?(0)?1?x2故所求切线方程为y?x
2x?0?1
2f()?f(0)2limnf()?lim2?n?2f?(0)?2 n??n??2nn例2 已知曲线的极坐标方程r?1?cos?，求曲线上对应于??坐标方程。
?6处的切线与法线的直角
?x?(1?cos?)cos??cos??cos2?解：曲线的参数方程为?
?y?(1?cos?)sin??sin??sin?cos?dydxdy?d?dxd?cos??cos2??sin2???sin??2cos?sin??1
???6???6???6故切线方程y?1333??1?(x??) 2424353??0 44即 x?y?法线方程 y?1333???(x??) 2424113??0 44即 x?y?
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高等数学
例
3 设f(x)为周期是
5
的连续函数，在x?0邻域内，恒有
f(1?sixn?)f3?(1x?si?xn?。)其中xlimx?0?(x)x?0，f(x)在x?1处可导，
求曲线y?f(x)在点（6,f(6)）处的切线方程。 解：由题设可知f(6)?f(1)，f?(6)?f?(1)，故切线方程为
y?f(1)?f?(1)(x?6)
所以关键是求出f(1)和f?(1)
由f(x)连续性lim[f(1?sinx)?3f(1?sinx)]??2f(1)
x?0 由所给条件可知?2f(1)?0，∴ f(1)?0
f(1?sinx)?3f(1?sinx)8x?(x)?lim(?)?8
x?0x?0sinxsinxsinxf(1?t)?3f(1?t)?8，又∵f(1)?0 令sinx?t,limt?0t再由条件可知lim∴ 上式左边=lim[f(1?t)?f(1)]f(1?t)?f(1)?3lim
t?0t?0t(?t) =f?(1)?3f?(1)?4f?(1) 则4f?(1)?8 f?(1)?2
所求切线方程为y?0?2(x?6) 即 2x?y?12?0 五、高阶导数
1．求二阶导数 例1 设y?ln(x?解：y'?x2?a2)，求y''
(x?x2?a2)?
1x?x2?a2 ?1x?x?a22(1?3xx?a22)?1x?a22
?1xy''??(x2?a2)2?2x??
2232(x?a)?x?arctantd2y例2 设? 求 22dx?y?ln(1?t)30
高等数学
2tdydydt1?t2解：???2t
dx1dxdt1?t2dydyd()d()2dydx?dx/dx??dx2dxdtdt
2?2(1?t2) 11?t2例3 设y?y(x)由方程x2?y2?1所确定，求y'' 解：2x?2yy'?0，y'??x yx2y??1?y?xyy y''????22yyy2?x21 ?? ??y3y32．求n阶导数（n?2，正整数）
先求出y?,y??,?，总结出规律性，然后写出y(n)，最后用归纳法证明。 有一些常用的初等函数的n阶导数公式 （1）y?e yxx(n)?ex
(n)（2）y?a(a?0,a?1) y（3）y?sinx （4）y?cosx （5）y?lnx
?ax(lna)n
n?) 2n??cos(x?)
2y(n)?sin(x?y(n)y(n)?(?1)n?1(n?1)!x?n
两个函数乘积的n阶导数有莱布尼兹公式
[u(x)v(x)](n)k(k)??Cnu(x)v(n?k)(x) k?0n其中Cn?kn!(0)(0)，u(x)?u(x)，v(x)?v(x)
k!(n?k)!假设u(x)和v(x)都是n阶可导
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