高等数学

第二章 一元函数微分学

§2.1 导数与微分

（甲）内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义

设函数y?f(x)在点x0的某领域内有定义，自变量x在x0处有增量?x，相应地函数增量?y?f(x0??x)?f(x0)。如果极限

f(x0??x)?f(x0)?y?lim

?x?0?x?x?0?xlim存在，则称此极限值为函数f(x)在x0处的导数（也称微商），记作f?(x0)，或y?x?x0，

dydxx?x0，

df(x)dxx?x0等，并称函数y?f(x)在点x0处可导。如果上面的极限不存在，则

称函数y?f(x)在点x0处不可导。

导数定义的另一等价形式，令x?x0??x，?x?x?x0，则

f?(x0)?f(x?)fx0() limx?x0x?x0我们也引进单侧导数概念。 右导数：f??(x0)?lim?x?x0f(x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0) ?lim??x?0x?x0?xf(x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0) ?lim??x?0x?x0?x左导数：f??(x0)?lim?x?x0则有

f(x)在点x0处可导?f(x)在点x0处左、右导数皆存在且相等。

2．导数的几何意义与物理意义

如果函数y?f(x)在点x0处导数f?(x0)存在，则在几何上f?(x0)表示曲线y?f(x)在点（x0,f(x0)）处的切线的斜率。 切线方程：y?f(x0)?f?(x0)(x?x0)

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法线方程：y?f(x0)??1(x?x0)(f?(x0)?0) ?f(x0)设物体作直线运动时路程S与时间t的函数关系为S?f(t)，如果f?(t0)存在，则f?(t0)表示物体在时刻t0时的瞬时速度。

3．函数的可导性与连续性之间的关系

如果函数y?f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处一定连续，反之不然，即函数

y?f(x)在点x0处连续，却不一定在点x0处可导。例如，y?f(x)?|x|，在x0?0处连

续，却不可导。

4．微分的定义

设函数y?f(x)在点x0处有增量?x时，如果函数的增量?y?f(x0??x)?f(x0)有下面的表达式

?y?A(x0)?x?o(?x) （?x?0）

o(?x)是?x?0时比?x高阶的无穷小，其中A(x0)为?x为无关，则称f(x)在x0处可微，

并把?y中的主要线性部分A(x0)?x称为f(x)在x0处的微分，记以dy我们定义自变量的微分dx就是?x。

5．微分的几何意义

x?x0或df(x)x?x0。

?y?f(x0??x)?f(x0)是曲线y?f(x)在点x0处相应

于自变量增量?x的纵坐标f(x0)的增量，微分dyx?x0是曲线

y?f(x)在点M0(x0,f(x0))处切线的纵坐标相应的增量（见

图）。

6．可微与可导的关系

f(x)在x0处可微?f(x)在x0处可导。

且dyx?x0?A(x0)?x?f?(x0)dx

一般地，y?f(x)则dy?f?(x)dx

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所以导数f?(x)?dy也称为微商，就是微分之商的含义。 dx

7．高阶导数的概念

如果函数y?f(x)的导数y??f?(x)在点x0处仍是可导的，则把y??f?(x)在点x0处的导数称为y?f(x)在点x0处的二阶导数，记以y??称f(x)在点x0处二阶可导。

如果y?f(x)的n?1阶导数的导数存在，称为y?f(x)的n阶导数，记以y(n)，

(n)x?x0d2y，或f??(x0)，或

dx2x?x0等，也

ydny(x)，n等，这时也称y?f(x)是n阶可导。

dx

二、导数与微分计算 1．导数与微分表（略） 2．导数与微分的运算法则

（1）四则运算求导和微分公式 （2）反函数求导公式

（3）复合函数求导和微分公式 （4）隐函数求导法则 （5）对数求导法

（6）用参数表示函数的求导公式

（乙）典型例题

一、用导数定义求导数

例 设f(x)?(x?a)g(x)，其中g(x)在x?a处连续，求f?(a) 解：f?(a)?limx?af(x)?f(a)(x?a)g(x)?0?lim?g(a) x?ax?ax?a

二、分段函数在分段点处的可导性 例1 设函数

?x2,x?1f(x)??

?ax?b,x?1试确定a、b的值，使f(x)在点x?1处可导。

解：∵可导一定连续，∴f(x)在x?1处也是连续的。

f(x)?limx?1 由 f(1?0)?lim??x?1x?1226

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f(1?0)?limf(x)?lim(ax?b)?a?b ??x?1x?1要使f(x)在点x?1处连续，必须有a?b?1或b?1?a

f(x)?f(1)x2?1?lim?lim(x?1)?2 又 f??(1)?lim??x?1?x?1x?1x?1x?1f??(1)?lim?x?1f(x)?f(1)ax?b?1a(x?1)?lim?lim?a x?1?x?1?x?1x?1x?1要使f(x)在点x?1处可导，必须f??(1)?f??(1)，即2?a.

故当a?2,b?1?a?1?2??1时，f(x)在点x?1处可导.

x2en(x?1)?ax?b例2 设f(x)?lim，问a和b为何值时，f(x)可导，且求f?(x)

n??en(x?1)?1n(x?1)???， 解：∵x?1时，limen??x?1时，limen(x?1)?0

n???x2,x?1，??a?b?1,x?1， ∴ f(x)??2?x?1，??ax?b,f(x)?limx2?1，f(1)?由x?1处连续性，lim??x?1x?1a?b?1?1，可知a?b?1 2再由x?1处可导性，

x2?f(1)f??(1)?lim存在

x?1?x?1f??(1)?lim?x?1(ax?b)?f(1)存在

x?1且f??(1)?f??(1)

根据洛必达法则f??(1)?lim?x?12x?2 1a?a，∴ a?2 x?11于是b?1?a??1 f??(1)?lim? 27