A．平面BCF⊥平面ADF B．EF⊥平面DAF C．△EFC为直角三角形 D．VC-BEF∶VF-ABCD＝1∶4

解析：选AD.因BF⊥AF，BF⊥DA，所以BF⊥平面DAF， 所以平面BCF⊥平面ADF，

由题意可知，平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的体积分别为V四棱锥F-ABCD，V三棱锥F-CBE.过点F作FG⊥AB于点G，因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，FG?平面

ABEF，所以FG⊥平面ABCD.所以V四棱锥F-ABCD＝×1×2×FG＝FG，V三棱锥F-BCE＝V三棱锥C-BEF＝×S△

111

×CB＝××FG×1×1＝FG，由此可得V三棱锥C-BEF∶V四棱锥F-ABCD＝1∶4.

326二、填空题

14．(一题多解)(2019·淄博市第一次模拟测试)底面边长为6，侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的高为________．

11解析：法一：由题意得，三棱锥的侧棱长为32，设正三棱锥的高为h，则××32×32

3213

×32＝××36h，解得h＝6.

34

法二：由题意得，三棱锥的侧棱长为32，底面正三角形的外接圆的半径为23，所以正三棱锥的高为18－12＝6.

答案：6

15．(2019·高考天津卷)已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________．

1

解析：由题可得，四棱锥底面对角线的长为2，则圆柱底面的半径为，易知四棱锥的高

2π?1?为5－1＝2，故圆柱的高为1，所以圆柱的体积为π×??×1＝. 4?2?

π

答案：

4

- 5 -

132313

BEF2

16．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为3，那么P到平面ABC的距离为____________．

解析：如图，过点P分别作PE⊥BC交BC于点E，作PF⊥AC交AC于点F.由题意知PE＝PF＝3.过P作PH⊥平面ABC于点H，连接HE，HF，

HC，易知HE＝HF，则点H在∠ACB的平分线上，又∠ACB＝90°，故△CEH为等腰直角三角形．在Rt△PCE中，PC＝2，PE＝3，则CE＝1，故CH＝2，在Rt△PCH中，可得PH＝2，即点P到平面ABC的距离为2.

答案：2

17．(2019·河南八市重点高中联盟测评改编)已知一个高为1的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形，则三棱锥的表面积为________，若三棱锥内有一个体积为V的球，则V的最大值为________．

解析：该三棱锥侧面的斜高为

?1×3?＋12＝23，则S＝3×1×2×23＝23，S?3?侧

323??

2

底

1

＝×3×2＝3，所以三棱锥的表面积S表＝23＋3＝33.由题意知，当球与三棱锥的2

1

四个面都相切时，其体积最大．设三棱锥的内切球的半径为r，则三棱锥的体积V锥＝S表·r311434π＝S底·1，所以33r＝3，所以r＝，所以三棱锥的内切球的体积最大为Vmax＝πr＝. 33381

答案：33

4π

81

- 6 -