其中r为原子间距,D=7×10-19J,a=2×1011/m,r0=8×10-11m,氢原子质量m=1.672×10－27,计算转动和振动特征温度，给出在温度分别为250K和2500K时的定压摩尔热容和定容摩尔热容。

22 假设双原子分子的振动是非线性的，振动能量的经典表达式为

?v?p2/2??kq2/2?aq3?bq4

式中最后两项是非简谐的修正项，其数值远较前面两项为小。试证明，振动内能可表为

Uv?NkT?Nk2T2?

2Cvv?Nk?2NkT?

振动热容量为 其中 ??15a2/2k3?3b/k2

提示：由于非简谐修正项很小，在计算配分函数时可以作近似：

exp?(??v)?(1??aq3??bq4??2a2q6)exp?[?(p2/2??kq2/2)]

2in2?)/2I， 23 双原子分子转动能量的经典表达式为?r?(p2试计算在经??p?/s典近似下的转动配分函数以及转动内能和熵。

24 假设双原子分子在平衡距离附近作简谐振动，试证明分子的平均线度等于两原子的平衡距离。这说明在简谐振动的分子不会发生热膨胀。这一结论对晶体也同样适用。

25 分子具有固有的电偶极矩，在电场E下转动能量的经典表达式为

r?dEco??r??0s 0r其中?0是没有电场时的转动能量，证明在经典近似下转动配分函数为

zr?(4?2I/?h2)(e?d0E?e??d0E)/?d0E

26 证明上题中极化强度

??nd0cos??nd0[(ex?e?x)/(ex?e?x)?1/x]

2E/3kT其中x?d0E/kT,n为单位体积内的分子数。又当x<<1时证明??d0

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?j?2 27 证明二维玻色理想气体的平均能量为E?AkT(2?mkT/h2)?j?1e/j

*28 证明二维自由玻色子系统不能产生玻色-爱因斯坦凝聚。

29 相对论电子的能量为?2￡?c2p2?2?c2p2?m0c4,其中m0是电子的静止质量，c是光速。试求完全简并性电子气体的能量和物态方程。

30 假设极端相对论电子的能量与动量的关系为??cp，试计算绝对零度时该种电子气体的费米能级和内能。

31 某种样品中的电子服从费米分布，其态密度为

??0,g(?)?0;??0,g(?)?g0

电子的总数为N，试求:a T=0K时系统的化学势?0和总能量E0；b 证明系统的非简并条件为T>>N/D0k;c 证明系统强烈简并时cv?T。

32 证明0K时极端相对论电子气体每秒钟碰撞到器壁单位面积上的次数??cN/4V。

*33 1010个微弱相互作用的无自旋粒子，每个都具有电子的质量，它们的外貌虽然相同但是遵守经典统计。这些粒子限制在边长为10－6cm的方箱中，每个粒子与方箱之间都有两种相互作用势能，一个是吸引势并导致将粒子完全局限在方箱中心的束缚状态，具有能量－1eV;另一相互作用是强烈的排斥势以阻止粒子通过箱壁逃逸。求方箱内压强为1大气压时系统的温度。

34 计算温度为T时，在体积V内光子气体的平均总光子数。 35 找出N个光子气体的态密度与其能量的函数关系，光子气体的能量

N为E??i?1cpi

*36 如果黑体辐射只占满二维空间，面积为S，在达到平衡时，温度为T。试导出二维空间辐射的普朗克公式和相应的斯忒藩定律。

37 计算单位时间碰到单位面积上的光子所携带的能量，证明空腔辐射的辐射通量密度为J??5k4T4/15h3c3。

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38 已知辐射压与辐射能密度的关系为P?u/3，试用纯热力学理论求出辐射能密度与绝对温度的关系。

39 半径为r的球形人造卫星涂成黑色，在距太阳中心为D的园轨道上运行(r<

40 令空腔体积绝热膨胀到原来的二倍，找出黑体辐射能量分布的尖峰频率的初值和末值的关系。

41 平衡辐射突然从具有理想反射硬壁的容积为V的空腔中反射到具有同样窖壁的容积为V'的空腔中，试求过程前后辐射场温度的变化及熵的增量。

42若太阳的行为象6000K的黑体一样，其直径为106公里。问太阳在波长3厘米附近每兆周带宽的总微波发射功率是多少？

*43 如果声子服从费米统计，固体比热的德拜理论将发生什么变化？在这样的假设下，求远低于德拜温度和远高于德拜温度时的比热与温度的关系(常数不必算出)。

*44 一容器中装有N摩尔某种单原子分子理想气体，容器与外界绝热。用两个隔板将气体分割为三部分。这三部分处于不同的平衡态，其体积、温度、摩尔数分别为V1,V2,V3求系统熵的变化。

45含有N个原子的晶体，出现n个缺位和填隙原子。若原子在填隙位置和正常位置的能量差为u，试由自由能nu?TS为极小的条件证明，在温度为T时，缺位和填隙原子数为n?Ne?u/2kT (设n<

46 晶体内部的原子脱离正常位置而占据表面上的正常位置，构成新的一层，晶体将出现缺位，称为肖脱基缺陷。若忽略晶体体积的变化，试由自由能为极小的条件证明：在温度为T时，缺位数n?Ne?W/kT，W为原子在表面位置与正常位置的能量差。

T1,T2,T3;N1,N2,N3，若把两个隔板同时抽掉，最后达到平衡，

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47 钠的原子量为23，密度为950kg/m3,每个原子贡献一个自由电子。计算在0K时自由电子气体的能量及压强，说明金属如何抵消此压力而保持稳定。计算电子的费米温度TF??0/k。如果用蒸发液氦来冷却金属钠，试计算将100cm3的钠降到0.3K需要蒸发多少立方厘米的液氦，已知在这样低的温度下，晶格的比热与电子比热相比较可以忽略，蒸发1立方厘米的液氦需要0.8焦耳的热量。

*48 一块晶体包含N个原子，原子自旋为1，磁矩为?，被置于均匀磁场中，这些原子的磁矩可以平行、垂直、反平行于磁感应强度B，原子间的相互作用可以忽略不计，只考虑磁矩同磁场间的相互作用。如果这块晶体处于热平衡时的温度为T，求晶体平均磁矩M的表达式，并由此导出居里定律。

*49 某种半导体有n个施主能级，它们的能量为-?。一施主能级只能被一个自旋向上或自旋向下的电子占据，而不能同时被两个电子占据。试求施主能级中的电子气体N-E配分函数以及处于施主能级中的电子数。

50 磁介质置于磁场H中并受到外压力的作用，对于等温可逆过程，试求磁致伸缩与压磁效应之间的关系，并计算磁场由零增加到H的弱场中因磁致伸缩而产生的体积的相对变化。

51 求自旋为1/2的理想核自旋系统熵与内能的关系并画出S-U曲线的示意图。已知在外磁场中每个自旋的能级为

?m???0m,m??1,?1,

?0?qBh/4??c?0,

其中μ为核质量，q为核电荷，自旋总数为N。

52 求上述系统在恒定场强情况下的热容CH，讨论在T??0K,??时的CH与?CH/?T值，给出CH-T曲线的示意图。求上述系统在外场不变的情况下，温度升高吸收的热量，当系统温度从?T0上升到?需吸收多少热量？当系统温度从T0上升到?T0需吸收多少热量？与一般能级无上限系统进行比较。

第四章习题

1 试证明在相变中物质摩尔内能的变化为

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