31 一均匀杆一端的温度为T1，另一端的温度为T2，计算达到均匀温度(T1+T2)/2时，均匀杆熵的增加值。

32 10安电流通过一个25欧的电阻器，历时1秒。试求当电阻器保持室温27℃时电阻器熵的增加值；若电阻器有绝热包壳，初温为27℃，熵增为若干？已知电阻器质量为0.01kg,比热为836Jkg-1·K-1

33 以温度T为纵轴，以熵S为横轴，画出的T-S图称为温-熵图。试在其中画出可逆等温、绝热、等容、等压四条曲线。分别在P-V图和T-S图中画出卡诺循环，利用T-S图证明卡诺循环的效率为?=1-T2/T1。

34 证明下列关系式：(?T/?S)H?T/CP?T2/V(?V/?H)P

U??T2[?(F/T)/?T]V

?V/?S?1?CV/CP 35 试证明：?P/?S?1?CP/CV

36 整理对气体的测量结果得到： (?V/?T)P?R/P?a/T2;(?V/?P)T??Tf(P)

其中a为常数，f仅为P的函数，在低压下，气体的摩尔定压热容为5R/2，试证明

f(P)?R/P2;PV?RT?aP/T;CP?2aP/T2?5R/2

37 普朗克函数的定义为K=-H/T+S,证明dK=(H/T2)dT -(V/T)dP 38 简单固体和液体的体胀系数与压缩系数都很小，在一定范围内可视为常数。试证明这类物质的物态方程为 v(T,P)=vO(TO,O)[1+?TP] P(T-TO)-?

39 假设在压强不太高时，1摩尔真实气体的物态方程为PV=RT(1+BP)。其中P为温度的函数。求? P、?T，并给出在P?O时的极限值。

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40 某气体的?P、?T分别为?P=nR/PV,?T=1/P+a/V,其中n、R、a都是常数，求此气体的物态方程。

41 已知某气体的?P=1/T+3a/VT2,?T=1/P+a/PVT2,其中a是常数，求物态方程。

*42 证明P、V、T系统有下列关系式：

(?CV/?V)( (CP?CV)?2T/?P?V?(?CP/?P)(V?T/?V)P?P?T/?P)V?1

43 某气体介质电容器贮存的电量为Z库仑，其电位差为E伏特，温度为T，并测得(?Z/?T)E=-b1E/T2,(?E/?T)Z=b1E/(b1T+b2T2),求气体介质的物态方程。

44 测得某顺磁质的(?H/?T)I=H/T,(?I/?T)H=-aH/T2,求物态方程。 45 1摩尔气体的物态方程为(P?a/Tnv2)(v?b)?RT,其中a、b、n、R都是常数。在v??时，其定容摩尔热容趋于常数c,试计算此气体的内能。

46 金属丝的横截面为A，长度为L,张力为F，在大气压下发生的过程其压强、体积的变化可以忽略。一般说它的线胀系数a=[(?L/?T)F/L] 和等温杨氏模量Y=[L(?F/?L)T/A]都是T的函数，对F仅有微弱的依赖关系，如果温度变化不大，可以视为常数。设金属丝两端固定，当温度从T1降至T2，证明其张力的增加为?F=-YAa(T2-T1)。

47 证明：(?S/?H)P?1/T(?S/?P)H/(?S/?H)P??V

48 设表面张力系数?为温度的函数，求表面膜面积从A可逆等温膨胀到B时吸收的热量。可逆绝热膨胀引起的温度变化与什么量有关？

49 一弹簧在恒温下的恢复力X与其伸长x成正比,X=-Ax,A是温度的函数。今忽略弹簧的热膨胀，证明其自由能、熵和内能的表达式为

F(T,x)=F(T,O)+Ax2/2 S(T,x)=S(T,O)-(x2/2)(dA/dT)

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U(T,x)=U(T,O)+(x2/2)(A-TdA/dT)

50 已知超导体的磁感应强度B=Io(H+I)=0,证明磁化强度I保持不变时的热容CI与I无关，只是温度T的函数，并求内能和熵。

51 沿磁场H放置长度为L的棒，受到外面的拉力Z,对于可逆等温变化，将引起棒长的改变。由实验得知，当拉力足够大，场强足够弱时，磁矩M可表为M=C(LH/Z),其中C为常数。

1）试写出该系统的热力学基本等式；

2）引入G=U-TS-LZ-MH,证明(?L/?H)Z,T=(?M/?Z)H,T ; 3）若磁场由0增至H，棒长的相对变化为 2/2Z2)[LZ(?L/?Z)-1] ?L/L=(H

52 橡胶被拉伸时将从非晶结构转变为晶型结构，问在等温过程中张力从0增至Z时，橡胶的熵增加还是减少？证明橡胶的线胀系数[(?L/?T)Z/L]<0。

53 均匀杆被力矩M?扭转?角，试求杆的“扭转倔强系数”(?M?/??)S和

(?M?/??)T之间的关系。

第二章 习题

1 试用经典E能量分布证明??dln?'(E)/dE 其中 ?'(E)?d?(E)/dE。 2 试用经典E能量分布证明?(E)/?'(E)???1。 3 证明E分布的能量方均涨落可以表为kT2Cv。 4 证明N-E分布的能量方均涨落为

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??2kT2Cv?(?N)2(?U/?U)2r.v，其中(?N)?kT(?N/??)

*5 设J?E??N，?为化学势，试证明对于N-E分布有

2（?J)2?kT2Cv?(?N)2?(?U/?Ur.v???

*6 单原子分子理想气体的体积为V，试用N-E分布证明在一小体积v中有n个分子的概率为Pn?e?n(n)n/n!，其中n?vN/V是v中的平均粒子数。

7某系统由A与B两个子系组成，它们之间仅有微弱的相互作用，于是整个系统的能量可以写为E=EA+EB，试用E分布证明系统的熵具有可加性，即S=SA+AB。

*8 由E分布证明两个温度不同一物体经热接触达到平衡后熵增加。假设两物体相互不作功，接触作用很小接触后的总能量不变，且仍可表为两个物体能量之和。

*9 用E分布证明两物体接触后热量从高温物体传向低温物体，条件同上题。 *10设有相互独立的N个粒子，每个粒子仅有两个非简单的能级??和??，，

???，N)的微观态数及系统的熵和温度。 求对应于总能量E?M?(M?N，11 由N个粒子组成的单元系具有唯一的外参量V，试证明E分布的配分函数满足如下关系：

N(?lnZ/?N)T.V?V(?lnZ/V)T.N?lnZ。12 试由E分布证明广义能量均分定理：pi(?H/?pi?kT；qi(?H/?qi)?kT，并由此证明：能量H中每一平方项的平均值为kT/2。

13 N个定域子组成的系统，每个粒子可以占据三个非简并能级中的任一个-E，0，E，系统保持恒温T.部T=0K时系统的熵是多少？系统的最大熵是多少？最小能量是多少，E分布配分函数是什么？最概然能量是多少？

14 N个 定域子组成的系统，每个粒子自旋为1/2，磁矩为?0。系统处于均

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