1 已知二维振子的能量为??(P?P)/2m?k(x?y)/2,求在?空间内等能曲面包围

2x2y22的相体积。

2 已知声子的能量与动量的关系为?=vp，其中v为声子的速度。对应同一平动状态，尚有纵波声子和横波声子之分,它们有不同的速度v?和vt，而且横波有两个偏振方向。试证明固体中声子的态密度为

3g(?)?4?Vh?3?2(2/v3t?1/v?)

3 n个全同可识别的粒子，分布在N个个体量子态中，每一种具体分配方式称为一个配容，假定所有Nn个配容都是等可能的，求有m个粒子处于某一指定量子态的概率。

*4 一副扑克去掉两张王牌分发给两队(每队两人)，问其中某队得到一整套同花牌的概率是多少？

*5 一醉汉从路灯处开始行走，每一步的距离均为L，但方向随机地取东西南北四个方向之一。试问醉汉走过三步之后，仍处于以路灯为中心，半径为2L的圆圈内的概率。

*6 经典线谐振子的质量为m，弹性常数为k，具有总能量E。其初始时刻是完全不知道的，求在(x,x+dx)区域内找到质量m的概率。

*7 肉眼可以看清的星球大约有6500个。有时两个星看起来非常靠近，可是通过仔细研究发现它们之间并没有物理上的联系，这样一对星称为光学双星。a 假设星球在天空中是随机分布的，试计算角距不大于1'的光学双星数目的期望值；b 只有两个光学双星的概率是多少？c 粗略估计一个光学三重星的概率。

*8 a、b两种细菌除颜色不同外其它没有区别。每个细菌都以“一分为二”的方式进行无性繁殖，繁殖时间为一小时。开始时a、b两种各有5000个，由于引入噬菌体使细菌的总数保持在10000个，噬菌体无选择地随机吞噬两种细菌。

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试问（1）经过很长时间后，a种细菌数目的概率分布如何？（2）如果噬菌体以1％的优越选择性吞噬a种细菌，结果有何变化？

*9 某过程具有如下性质：在[t,t+h]间隔内发生一事件的概率为h,与以前发生什么情况无关。假定在此区间内发更多事件的概率等于h的高次方项，试取h趋于零的极限，确定在0--t时间内发生n个事件的概率，并用这个分布函数求n和n2的平均值。

10 已知概率分布dW=ce-?xdx，求x的平均值、均方值、均方涨落和相对涨落。

11 在上题中若令y2=x，求该系统的概率分布以及y的平均值和均方值。 12 自旋为1的原子核，沿给定方向的磁矩分量?有三个可能值,即?0、0、- ?的平均值、方均值和均方涨落。 0相应的概率分别为P、1-2P、P，试求?

13 已知连续变量x的分布函数为F(x)在x轴上[-1,1]区间内F(x)=A(1-x2),在此区间外F(x)=0。试大致画出F(x)-x图形，计算归一化常数和x、x2的平均值.。

14 由N个粒子组成的系统，粒子速率的分布函数为f(v)，在v轴上[0,u]区间内f(v)=A,v>u时f(v)=0。若A为常数，求A以及粒子的平均速率和平均平动动能。

－1/2exp[-(x-a)2/2?], 15 若随机变量x的概率分布为W(x)=(???)则称x服从正态分布或高斯分布，试计算x的平均值和均方涨落。

16 处于真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入。当压强达到外界压强PO时，将活门关上。试证明，小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能U与原来在大气中的内能UO之差为U-UO=POVO,其中VO是它原来在大气中的体积。若当作理想气体处理，求它的温度和体积。

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17 一个具有绝热壁的金属容器内有n摩尔高压氦气，其压强为P。此容器通过一活门和一个很大的气瓶相通，此瓶内的气体压强保持PO，并和大气的压强非常相近。将活门打开，让氦缓慢、绝热地流入气瓶，直到活门两边压强相等为止。试证明u-n'u'/n=h'-n'h'/n,其中n'是留在金属容器内的氦的摩尔数， u是金属容器内1摩尔氦的初始内能，u'是它的最后内能，h'是气瓶内1摩尔氦的焓。

18 试根据热力学第二定律证明：两条绝热线不能相交；绝热线和等温线不能有两个交点。

*19 橡皮棒的弹性可以用N个分子首尾相连(可以打折)构成的一维聚合物来模拟。若分子间连键的方向等概率地取0。或180。,每一链长均为d,总长为2md求此模型的微观态数及熵

20 由两个相同原子组成的系统,原子的量子态有三个,能量分别为0、?、2?。写出两原子分别为定域子、玻色子和费米子三种情况的E分布配分函数。

21 由两个全同粒子组成的系统，粒子可以占据能级?n=n?，n=0,1,2中的任何一个，能级2?是双重简并的，求两粒子分别为定域子、玻色子、费米子三种情况下，系统的E分布配分函数和能量。

22 一个两能级系统，基态能量为0，能级差为?E，求E分布配分函数和系统的最概然能量。

23 有N个如上题所述的两能级系统的集合，求集合的熵。

*24 一个电容器的容量对温度很敏感，它被完成下述循环：1）与温度为T1的热源接触并缓慢充电到带电荷q1,此时电压为V1，在此过程中电容器吸热Q1；2）脱离热源，但继续充电到电压为V2，此时温度为T2；3）保持温度为T2并缓慢放电；4)脱离温度为T2的热源，全部放电完毕回到温度为T1的初

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始状态。a)求整个循环中所做的总功。b）在过程3）中，电容器放出多少热量? c）固定的带电电荷q,求电容器的dV/dY。

25 一物体的初温T1高于热源的温度T2。有一热机在此物体和热源之间工作，直到将物体的温度降低到T2为止。若热机从物体吸收的热量为Q，试证明此热机输出的最大功为Wd=Q-T2(S1-S2),其中S1-S2是物体熵的减少。

26 有两个相同的物体，热容量为常数，初温为T。今使一制冷机在此两物体间工作，使其中一个物体的温度降低到T'为止。假设物体维持在定压下并且不发生相变。试证明此过程所需的最小功为Wx=CP(T2/T'+T'-2T)。

*27 在室温27℃的情况下，要造出3kg的冰，至少需做多少功？如果实际上做3.3×105J的功，该过程熵产生以及所用制冰机的制冷系数各为多少？

28 有0.02kg温度为-10℃的冰，在大气压下变成10℃的水，试计算其熵的变化。已知冰与水的定压比热分别为2093Jkg-1·K-1、4187Jkg-1·K-1,冰的熔解热为3.349×105Jkg-1。

*29 一建筑物其内温度为T现用理想泵浦从温度为T'的河水中吸取热量给建筑物供暖，如果泵的功率为W，建筑物的散热率为a(T-T'),a为常数。证明建筑物的平均温度为T'+(W/2a)[1+(1+4aT'/W)1/2],如果换用功率为W的加热器给建筑物直接加热，与泵浦相比是否合算？为什么？

30 质量为m，比热为c的某种物质，温度从T1升至T2，计算其熵的变化。若将它所吸收的热量看作是在平均温度(T1+T2)/2下吸收的，再计算其熵的变化，并证明当?T=T两种作法将得到一致的结果。[当x2<1时，2-T1<

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