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非基变量的检验数：
A1 A2 A3 销量 B1 0 9 3 B2 2 2 6 B3 1 12 5 B4 6 产量 7 4 9 检验数大于等于零，最优解。 最小费用85。
2、 利用沃格尔法求解产销平衡的运输问题，并用位势法检验是否是最优解。（10分×1=10
分）
某公司经销甲产品。该公司下设三个加工厂。每日的产量分别是：A1为7吨，A2为4吨，A3为9吨。该公司把这些产品分别运往4个销售点。各销售点的每日销量为：B1为3吨，B2为6吨，B3为4吨，B4为6吨。已知从各工厂到各销售点的单位产品的运价如下表所示。请利用伏格尔法求解并用闭回路法检验和调整，确定公司在满足各销售点的需要量的前提下，使总运费为最少。 解： A1 A2 A3 销量
非基变量的检验数： A1 A2 A3 销量 B1 0 9 3 B2 2 2 6 B3 1 12 5 B4 6 产量 7 4 9 B1 3 3 B2 6 6 B3 5 5 B4 2 1 3 6 产量 7 4 9
检验数大于等于零，最优解。 最小费用85。
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八、列出多目标规划的数学模型（5分×2=10分）
1、 某工厂生产I、II两种产品，已知有关数据见下表。试求获利最大的生产方案。 原材料（千克/件） 设备工时（小时/件） 利润（元/件） I 2 1 8 II 1 2 10 限量 11 10 （1） 超过计划供应的原材料时，需要高价采购，会使成本大幅度增加，原材料使用限额不得突破；
（2） 根据市场信息，产品I的销售量有下降的趋势，故尽量考虑产品I的产量不大于产
品II的产量。
（3） 应尽可能充分利用设备台时数，但不希望加班。 （4） 应尽可能达到并超过计划利润指标56元。
解：设产品II的产量要求目标的正偏差为d1+、负偏差为d1-，其优先因子为P1，设备工时要求目标的正偏差为d2+、负偏差为d2-，其优先因子为P2，利润要求目标的正偏差为d3+、负偏差为d3-，其优先因子为P3
产品I的产量为X1，产品II的产量为X2 则目标规划为：
minz?P1d1??P2d2??d2??P3d3??2x1?x2?11???x?x?d?d?01211? ???x?2x?d?d?10s.t.?1222???8x?10x?d?d?56233?1?x1,x2,di?,di??0(i?1,2,3)?
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2、 某工厂生产I、II两种产品，已知有关数据见下表。试求获利最大的生产方案。 原材料（千克/件） 设备工时（小时/件） 利润（元/件） I 5 4 6 II 10 4 8 限量 60 40 （5） 原材料使用限额不得突破； （6） 产品II产量要求必须优先考虑；由于产品II市场销售疲软，产品II的产量不超过产
品I的一半；
（7） 设备工时问题其次考虑，最好能节约4小时设备工时； （8） 最后考虑计划利润要求，计划利润不少于48元。
解：设产品II的产量要求目标的正偏差为d1+、负偏差为d1-，其优先因子为P1，设备工时要求目标的正偏差为d2+、负偏差为d2-，其优先因子为P2，利润要求目标的正偏差为d3+、负偏差为d3-，其优先因子为P3
产品I的产量为X1，产品II的产量为X2，
则目标规划为：
min{P1d1?,P2d2?,P3d3?}?5x1?10x2?60?x1?2x2?d1??d1??0? ????d2?d2?36s.t.?4x1?4x2?6x?8x?d??d??48233?1?x1,x2,di?,di??0(i?1,2,3)? 或者
minz?P1d1??P2d2??P3d3??5x1?10x2?60?x1?2x2?d1??d1??0? ??d2??d2??36s.t.?4x1?4x2?6x?8x?d??d??48233?1???x1,x2,di,di?0(i?1,2,3)?
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九、0-1整数规划对应的指派问题（匈牙利法）（10分×1=10分）
1、 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种上文字。分别记作E、G、J、R。现有
甲、乙、丙、丁四人。他们将中文说明书翻译成不同语种的说明书所需时间见下表所示。问应指派何人去完成何工作，使所需总时间为最少？ 甲 乙 丙 丁 解：
E 2 10 9 7 J 15 4 14 8 G 13 14 16 11 R 4 15 13 9 ?0??0?1???0010000011??0? 0??0??
2、 求下列效率矩阵的指派问题的最小解。任务：A、B、C、D、E；人员：甲、乙、丙、
丁、戊
甲 乙 丙 丁 戊 解：
A 12 8 7 15 4 B 7 9 17 14 10 C 9 6 12 6 7 D 7 6 14 6 10 E 9 6 9 10 9 ?0??0?0??0?1?
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1000??0010?0001?
?0100?0000??