考点25 三视图与直观图

一、 知识储备汇总与命题规律展望 1.知识储备汇总: 1.1棱柱的结构

名称 棱柱 图形 有两个面互相平行，而其余每相定 义 邻两个面的交线都互相平行的多面体 侧棱 侧面的形状 对角面的形状 平行于底面的截面的形状 平行且相等 平行四边形 平行四边形 与底面全等的多边形 平行且相等 矩形 矩形 与底面全等的多边形 平行且相等 全等的矩形 矩形 与底面全等的正多边形 侧棱垂直于底面的棱柱 底面是正多边形的直棱柱 直棱柱 正棱柱 1.2圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线. 1.3棱锥、棱台的结构

名称 棱锥 图形 有一个面是多边形，其余各面定义 是有一个公共顶点的三角形的多面体 底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的射影是底面和截面之间用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分 由正棱锥截得的棱台 正棱锥 棱台 正棱台 的部分 侧棱 侧面的形状 对角面的形状 平行于底的截面形状 其他性质 高过底面中心； 侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等 两底中心连线即高；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等 与底面相似的多边形 与底面相似的正多边形 与底面相似的多边形 与底面相似的正多边形 三角形 相交于一点但不一定相等 三角形 相交于一点且相等 全等的等腰三角形 等腰三角形 梯形 延长线交于一点 梯形 相等且延长线交于一点 全等的等腰梯形 等腰梯形 1.4圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面.

1.5.圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴 1.6.球

（1）定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径. （2）球的性质

球被平面截得的图形是圆，球心与截面圆圆心的连线与截面圆垂直，球的半径R，截面圆的半径r，球心到截面圆的距离为d，则R?r?d.

1.7.长方体性质：长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和. 1.8正四面体：侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体. 设正四面体的棱长为a，则高为222632a，斜高a为，对棱间的距离为a，体积为32223a. 121.9空间几何体的直观图 （1）斜二测画法

①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐标系；

''②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的OX,OY,使?X'OY=45（或

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135），它们确定的平面表示水平平面；

③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y轴，且长度变为原来的一半；

④擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）.

画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法.

（2）平行投影与中心投影：平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点.

1.10 简单几何体三视图 （1）三视图

①正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度； ②侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度； ③俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度. （2）三视图画法规则

高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐 长对正：主视图与俯视图的长应对正 宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等

（3）.解决三视图问题的技巧：空间几何体的数量关系也体现在三视图中，正视图和侧视图的“高平齐”，正视图和俯视图的“长对正”，侧视图和俯视图的“宽相等”．也就是说正视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度．在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”．在三视图的判断与识别中要特别注意其中的“虚线”．

（4）要切实弄清常见几何体(圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台、球)的三视图的特征，熟练掌握三视图的投影方向及正视图原理，才能迅速破解三视图问题，由三视图画出其直观图．

（5）解答三视图题目时：

①可以从熟知的某一视图出发，想象出直观图，再验证其他视图是否正确； ②视图中标注的长度在直观图中代表什么，要分辨清楚； ③视图之间的数量关系：正俯长对正，正侧高平齐，侧俯宽相等．

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1.11几何体中计算问题的方法与技巧：

①在正棱锥中，正棱锥的高、侧面等腰三角形的斜高与侧棱构成两个直角三角形，有关计算往往与两者相关；

②正四棱台中要掌握对角面与侧面两个等腰梯形中关于上底、下底及梯形高的计算，另外，要能将正三棱台、正四棱台的高与其斜高，侧棱在合适的平面图形中联系起来；

③研究圆柱、圆锥、圆台等问题，主要方法是研究其轴截面，各元素之间的关系，数量都可以在轴截面中得到；

④多面体及旋转体的侧面展开图是将立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段． 2.命题规律展望：空间几何体的三视图与直观图是高考的重点和热点，主要考查简单几何体

三视图识别、由三视图画出对应的几何体的直观图并计算其体积与表面积、由三视图画出对应的几何体的直观图并其外接球或内切球的体积或表面积，题型为选择题或填空题，难度为容易题或中档题，分值为5分.

二、题型与相关高考题解读 1.空间几何体的三视图 1.1考题展示与解读

例1 【2014高考湖北卷理第5题】在如图所示的空间直角坐标系O?xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）

A.①和② B.③和① C. ④和③ D.④和②

【命题意图探究】本题主要考查简单几何体的三视图及空间想象能力，是基础题. 【答案】D

【解析】设A(0,0,2),B(2,2,0),C(1,2,1),D(2,2,2)，在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D.