答案 D 二、填空题

7.如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________.

解析 ∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC?平面ABC，

∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形. 由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，

∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形. 答案 4

8.(2019·北京卷)已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断： ①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________. 解析 已知l，m是平面α外的两条不同直线，由①l⊥m与②m∥α，不能推出③l⊥α，因为l可以与α平行，也可以相交不垂直；由①l⊥m与③l⊥α能推出②m∥α；由②m∥α与③l⊥α可以推出①l⊥m.故正确的命题是②③?①或①③?②.

答案 若m∥α，l⊥α，则l⊥m(或若l⊥m，l⊥α，则m∥α，答案不唯一)

9.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可).

解析 由题意可知，BD⊥PC.

∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD. 又PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD. 答案 DM⊥PC(或BM⊥PC等)

10.已知α，β是两个平面，m，n是两条直线.

(1)如果m⊥α，n∥α，那么m，n的位置关系是________；

(2)如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角的大小关系是________. 解析 (1)由线面平行的性质定理知存在直线l?α，n∥l，m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n. (2)因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等.因为α∥β，所以n与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等.

答案 (1)垂直 (2)相等 三、解答题

11.如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点.

(1)求证：PB∥平面MNC；

(2)若AC＝BC，求证：PA⊥平面MNC. 证明 (1)因为M，N分别为AB，PA的中点，

所以MN∥PB.又因为MN?平面MNC，PB?平面MNC，所以PB∥平面MNC. (2)因为PA⊥PB，MN∥PB，所以PA⊥MN. 因为AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB. 因为平面PAB⊥平面ABC，

CM?平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB.

所以CM⊥平面PAB.

因为PA?平面PAB，所以CM⊥PA. 又MN∩CM＝M，所以PA⊥平面MNC.

12.(2019·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.

(1)求证：BD⊥平面PAC；

(2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE； (3)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由. (1)证明 因为PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， 所以PA⊥BD.

因为底面ABCD为菱形， 所以BD⊥AC. 又PA∩AC＝A， 所以BD⊥平面PAC.

(2)证明 因为PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，

所以PA⊥AE.

因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，且E为CD的中点，所以AE⊥CD.又因为AB∥CD，所以

AB⊥AE.

又AB∩PA＝A，所以AE⊥平面PAB.

因为AE?平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE.

(3)解 棱PB上存在点F，使得CF∥平面PAE.理由如下：取PB的中点F，PA的中点G，连接

CF，FG，EG，

1

则FG∥AB，且FG＝AB.

2

因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点， 1

所以CE∥AB，且CE＝AB.

2所以FG∥CE，且FG＝CE.

所以四边形CEGF为平行四边形.所以CF∥EG. 因为CF?平面PAE，EG?平面PAE， 所以CF∥平面PAE.

能力提升题组

13.(2019·全国Ⅲ卷)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则( ) A.BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线 B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C.BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线 D.BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线

解析 取CD的中点O，连接ON，EO，因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2，则EO＝3，ON＝1，所以EN＝EO＋ON＝4，得EN＝2.过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，则

2

2

2

MP＝

33?222

，CP＝，所以BM＝MP＋BP＝?22?3??3?2

?＋?2?＋2＝7，得BM＝7，所以BM≠EN.连接BD，2???

22

BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线，故选B.

答案 B

14.(2020·浙江教育绿色评价联盟适考)在三棱锥P－ABC中，E为线段AB(不包括端点)上一点，则错误的是( )

A.一定存在唯一的平面α经过点E，使得平面α∥平面PAC B.一定存在唯一的平面α经过点E，使得平面α⊥平面PAC

C.一定存在唯一的平面α经过点E，使得平面α⊥PA

D.在平面ABC内，一定存在唯一的直线l经过点E，使得l∥平面PAC 解析 由点E为平面PAC外一点，逐项分析如下： 选项 A B C D 故选B. 答案 B

15.如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°. 其中正确的有________(把所有正确的序号都填上).

理由 过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；过平面垂线的所有平面与已知平面垂直 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 过已知平面的平行直线的平面与已知平面相交，则交线与已知直线平行；又在同一平面内有且只有一条直线与已知直线平行 正误 正确 错误 正确 正确

解析 由PA⊥平面ABC，AE?平面ABC，得PA⊥AE，

又由正六边形的性质得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE⊥平面PAB，又PB?平面PAB，∴AE⊥PB，①正确；又平面PAD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②错误；由正六边形的性质得BC∥AD，又AD?平面PAD，BC?平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立，③错误；在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴④正确. 答案 ①④

16.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，点D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF. 解析 由题意易知B1D⊥平面ACC1A1， 所以B1D⊥CF.

要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF即可. 令CF⊥DF，设AF＝x，则A1F＝3a－x. 易知Rt△CAF∽Rt△FA1D，