∵BC＝CE，H为BE的中点，∴CH⊥BE，又CD∩CH＝C， ∴BE⊥平面DPHC，又PM?平面DPHC， ∴BE⊥PM，即PM⊥BE.

规律方法 (1)求条件探索性问题的主要途径：①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.

(2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.

【训练3】 (1)(角度1)(2019·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，

AC的中点，AB＝BC.

求证：①A1B1∥平面DEC1； ②BE⊥C1E.

︵︵(2)(角度2)(2018·全国Ⅲ卷)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点.

①证明：平面AMD⊥平面BMC；

②在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由. (1)证明 ①因为D，E分别为BC，AC的中点， 所以ED∥AB.

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1， 所以A1B1∥ED.

又因为ED?平面DEC1，A1B1?平面DEC1， 所以A1B1∥平面DEC1.

②因为AB＝BC，E为AC的中点， 所以BE⊥AC.

因为三棱柱ABC－A1B1C1是直棱柱， 所以C1C⊥平面ABC.

又因为BE?平面ABC，所以C1C⊥BE.

因为C1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC＝C， 所以BE⊥平面A1ACC1.

因为C1E?平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.

(2)①证明 由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC?平面ABCD， 所以BC⊥平面CMD， 又DM?平面CMD，故BC⊥DM.

因为M为︵

CD上异于C，D的点，且DC为直径， 所以DM⊥CM.

又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC. 而DM?平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC. ②解 当P为AM的中点时，MC∥平面PBD. 证明如下：如图，连接AC，BD，AC交BD于O. 因为ABCD为矩形，所以O为AC中点.连接OP， 因为P为AM中点，所以MC∥OP.

MC?平面PBD，OP?平面PBD，

所以MC∥平面PBD.

基础巩固题组

一、选择题

1.已知平面α⊥平面β，且α∩β＝b，a?α，则“a⊥b”是“a⊥β”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析 平面α⊥平面β，且α∩β＝b，a?α，若a⊥b，则a⊥β，充分性成立；平面α⊥平面β，因为α∩β＝b，所以b?β，若a⊥β，则a⊥b，必要性成立，所以“a⊥b”是“a⊥β”的充要条件，故选C. 答案 C

2.下列命题正确的是( )

A.若直线l不平行于平面α，则α内不存在直线平行于直线l B.若直线l不垂直于平面α，则α内不存在直线垂直于直线l C.若平面α不平行于平面β，则β内不存在直线平行于平面α D.若平面α不垂直于平面β，则β内不存在直线垂直于平面α

解析 A中，若直线l在平面α内，则平面α内存在直线平行于直线l；B中，平面α内存在无数条直线与直线l垂直；C中，平面β内与两平面交线平行的直线都与平面α平行；故选D. 答案 D

3.(2015·浙江卷)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l?α，m?β( ) A.若l⊥β，则α⊥β C.若l∥β，则α∥β

B.若α⊥β，则l⊥m D.若α∥β，则l∥m

解析 由面面垂直的判定定理可知A正确；B中，l与m可能平行、垂直、相交、异面；C中，

α与β可能相交、平行；D中，l与m可能异面、平行.

答案 A

4.若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P?l，则下列命题中是假命题的为( ) A.过点P垂直于平面α的直线平行于平面β B.过点P垂直于直线l的直线在平面α内 C.过点P垂直于平面β的直线在平面α内

D.过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β

解析 由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，因此也平行于平面β，因此A正确.过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内，因此B不正确.根据面面垂直的性质定理知C，D正确. 答案 B

5.如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是( )

A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE C.平面PDF⊥平面PAE D.平面PDE⊥平面ABC

解析 因为BC∥DF，DF?平面PDF，BC?平面PDF， 所以BC∥平面PDF，故选项A正确.

在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E， ∴BC⊥平面PAE，DF∥BC，则DF⊥平面PAE，

又DF?平面PDF，从而平面PDF⊥平面PAE.因此B，C均正确. 答案 D

6.(2020·北京门头沟区一模)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，

Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是( )

解析 对于A，AB为体对角线，M、N、Q分别为棱的中点，由中位线定理可得MN，MQ，NQ平行于所对应的面对角线，连接另一条面对角线，由线面垂直的判定可得AB垂直于MN，MQ，NQ，可得AB垂直于平面MNQ；对于B，AB为上底面的对角线，显然AB垂直于MN，与AB相对的下底面的面对角线平行，且与直线NQ垂直，可得AB垂直于平面MNQ；对于C，AB为前面的面对角线，显然AB垂直于MN，QN在下底面且与棱平行，此棱垂直于AB所在的面，即有AB垂直于QN，可得AB垂直于平面MNQ；对于D，AB为上底面的对角线，MN平行于前面的一条面对角线，此对角线与AB所成角为60°，则AB不垂直于平面MNQ.