浙江省2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第5节直线平面垂直的判定及其性质含解析 下载本文

第5节 直线、平面垂直的判定及其性质

考试要求 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理;2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.

知 识 梳 理

1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义

如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直. (2)判定定理与性质定理

文字语言 图形表示 符号表示 一条直线与一个平面内判定定理 的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直 l⊥al⊥b??a∩b=O?l⊥?a?α?b?α?α 两直线垂直于同一个平性质定理 面,那么这两条直线平行 2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义

a⊥α????a∥b ?b⊥α? 两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理

文字语言 一个平面经过另一个平图形表示 符号表示 判定定理 面的一条垂线,则这两个平面互相垂直 l⊥α????α⊥β ?l?β?如果两个平面互相垂直,性质定理 则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 [常用结论与易错提醒] 1.垂直关系的转化

α⊥βα∩β=al⊥al?β⊥α ????l??

2.直线与平面垂直的五个结论

(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线. (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直. (5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.

诊 断 自 测

1.判断下列说法的正误.

(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( )

(3)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( ) (4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β.( )

解析 (1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则有l⊥α或l与α斜交或l?α或

l∥α,故(1)错误.

(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交,故(2)错误.

(3)若两个平面垂直,则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面,也可能与另一平面平行,也可能与另一平面相交,也可能在另一平面内,故(3)错误.

(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的所有直线,则α⊥β,故(4)错误. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×

2.(2020·温州适应性测试)设m,n为直线,α,β为平面,则m⊥α的一个充分条件可以是( )

A.α⊥β,α∩β=n,m⊥n C.α⊥β,m∥β

B.α∥β,m⊥β D.n?α,m⊥n

解析 对于A,直线m与平面α可能平行、相交或直线m在平面α内,A错误;对于B,由

直线垂直于两平行平面中的一个,得该直线垂直于另一个平面,B正确,对于C,直线m与平面α可能平行、相交或直线m在平面α内,C错误;对于D,直线m与平面α可能平行、相交或直线m在平面α内,D错误.综上所述,故选B. 答案 B

3.(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则( ) A.m∥l C.n⊥l

B.m∥n D.m⊥n

解析 因为α∩β=l,所以l?β,又n⊥β,所以n⊥l,故选C. 答案 C

4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则( ) A.A1E⊥DC1 C.A1E⊥BC1

B.A1E⊥BD D.A1E⊥AC

解析 如图,由题设知A1B1⊥平面BCC1B1且BC1?平面BCC1B1,从而

A1B1⊥BC1,又B1C⊥BC1,且A1B1∩B1C=B1,所以BC1⊥平面A1B1CD,又A1E?

平面A1B1CD,所以A1E⊥BC1. 答案 C

5.(2020·北京顺义区二模)已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则( ) A.若m⊥α,α⊥β,则m∥β B.若m∥α,n⊥α,则m⊥n

C.若m?α,n?α,m∥β,n∥β,则α∥β D.若m∥α,n∥α,则m∥n

解析 在如图所示的正方体中依次判断各个选项;A选项,面ABCD⊥面

ADD1A1,AA1⊥面ABCD,此时AA1?面ADD1A1,可知A错误;B选项,m∥α,

则α内必存在直线,使得m∥l;又n⊥α,则n⊥l,可知n⊥m,可知B正确;C选项,取AA1和DD1中点E和F,可知A1D1∥面ABCD,EF∥面ABCD,

A1D1,EF?面ADD1A1,此时面ADD1A1⊥面ABCD,可知C错误;D选项,AA1∥面BCC1B1,AD∥面BCC1B1,此时AA1∩AD=A,可知D错误.

答案 B

6.(必修2P67练习2改编)在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC中的射影为点O, (1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的________心.

(2)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的________心. 解析 (1)如图1,连接OA,OB,OC,OP,

在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中,PA=PC=PB, 所以OA=OB=OC,即O为△ABC的外心.

图1 图2 (2)如图2,∵PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P, ∴PC⊥平面PAB,AB?平面PAB, ∴PC⊥AB,又AB⊥PO,PO∩PC=P, ∴AB⊥平面PGC,又CG?平面PGC, ∴AB⊥CG,

即CG为△ABC边AB的高.

同理可证BD,AH分别为△ABC边AC,BC上的高,即O为△ABC的垂心. 答案 (1)外 (2)垂

考点一 线面垂直的判定与性质

【例1】 (2020·苏锡常镇四市一调)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的高为6,其底面边长为2.已知点M,N分别是棱A1C1,AC的中点,点D是棱CC1上靠近C的三等分点.

求证:(1)B1M∥平面A1BN; (2)AD⊥平面A1BN.

证明 (1)连接MN,正三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形AA1C1C是平行四边形,因为点M,N分别是棱A1C1,AC的中点,所以MN∥AA1且MN=AA1,又正三棱柱ABC-A1B1C1中AA1∥BB1且AA1=BB1,所以MN∥BB1且MN=BB1,所以四边形MNBB1是平行四边形,所以B1M∥BN,又B1M?平面A1BN,BN?平面A1BN,所以B1M∥平面A1BN.

(2)正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,

BN?平面ABC,所以BN⊥AA1.