第5节 直线、平面垂直的判定及其性质

考试要求 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.

知 识 梳 理

1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义

如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直. (2)判定定理与性质定理

文字语言 图形表示 符号表示 一条直线与一个平面内判定定理 的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 l⊥al⊥b??a∩b＝O?l⊥?a?α?b?α?α 两直线垂直于同一个平性质定理 面，那么这两条直线平行 2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义

a⊥α????a∥b ?b⊥α? 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理

文字语言 一个平面经过另一个平图形表示 符号表示 判定定理 面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 l⊥α????α⊥β ?l?β?如果两个平面互相垂直，性质定理 则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 [常用结论与易错提醒] 1.垂直关系的转化

α⊥βα∩β＝al⊥al?β⊥α ????l??

2.直线与平面垂直的五个结论

(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线. (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直. (5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.

诊 断 自 测

1.判断下列说法的正误.

(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( )

(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( ) (4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( )

解析 (1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则有l⊥α或l与α斜交或l?α或

l∥α，故(1)错误.

(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误.

(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误.

(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的所有直线，则α⊥β，故(4)错误. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×

2.(2020·温州适应性测试)设m，n为直线，α，β为平面，则m⊥α的一个充分条件可以是( )

A.α⊥β，α∩β＝n，m⊥n C.α⊥β，m∥β

B.α∥β，m⊥β D.n?α，m⊥n

解析 对于A，直线m与平面α可能平行、相交或直线m在平面α内，A错误；对于B，由

直线垂直于两平行平面中的一个，得该直线垂直于另一个平面，B正确，对于C，直线m与平面α可能平行、相交或直线m在平面α内，C错误；对于D，直线m与平面α可能平行、相交或直线m在平面α内，D错误.综上所述，故选B. 答案 B

3.(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( ) A.m∥l C.n⊥l

B.m∥n D.m⊥n

解析 因为α∩β＝l，所以l?β，又n⊥β，所以n⊥l，故选C. 答案 C

4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( ) A.A1E⊥DC1 C.A1E⊥BC1

B.A1E⊥BD D.A1E⊥AC

解析 如图，由题设知A1B1⊥平面BCC1B1且BC1?平面BCC1B1，从而

A1B1⊥BC1，又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E?

平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1. 答案 C

5.(2020·北京顺义区二模)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则( ) A.若m⊥α，α⊥β，则m∥β B.若m∥α，n⊥α，则m⊥n

C.若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β D.若m∥α，n∥α，则m∥n

解析 在如图所示的正方体中依次判断各个选项；A选项，面ABCD⊥面

ADD1A1，AA1⊥面ABCD，此时AA1?面ADD1A1，可知A错误；B选项，m∥α，

则α内必存在直线，使得m∥l；又n⊥α，则n⊥l，可知n⊥m，可知B正确；C选项，取AA1和DD1中点E和F，可知A1D1∥面ABCD，EF∥面ABCD，

A1D1，EF?面ADD1A1，此时面ADD1A1⊥面ABCD，可知C错误；D选项，AA1∥面BCC1B1，AD∥面BCC1B1，此时AA1∩AD＝A，可知D错误.

答案 B

6.(必修2P67练习2改编)在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O， (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心.

(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心. 解析 (1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，

在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB， 所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心.

图1 图2 (2)如图2，∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P， ∴PC⊥平面PAB，AB?平面PAB， ∴PC⊥AB，又AB⊥PO，PO∩PC＝P， ∴AB⊥平面PGC，又CG?平面PGC， ∴AB⊥CG，

即CG为△ABC边AB的高.

同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心. 答案 (1)外 (2)垂

考点一 线面垂直的判定与性质

【例1】 (2020·苏锡常镇四市一调)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的高为6，其底面边长为2.已知点M，N分别是棱A1C1，AC的中点，点D是棱CC1上靠近C的三等分点.

求证：(1)B1M∥平面A1BN； (2)AD⊥平面A1BN.

证明 (1)连接MN，正三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形AA1C1C是平行四边形，因为点M，N分别是棱A1C1，AC的中点，所以MN∥AA1且MN＝AA1，又正三棱柱ABC－A1B1C1中AA1∥BB1且AA1＝BB1，所以MN∥BB1且MN＝BB1，所以四边形MNBB1是平行四边形，所以B1M∥BN，又B1M?平面A1BN，BN?平面A1BN，所以B1M∥平面A1BN.

(2)正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，

BN?平面ABC，所以BN⊥AA1.