第28届全国中学生物理竞赛复赛模拟试卷及答案 下载本文

2?(rdru13n)3n?(210)3n?210

n?103 (7)

评分标准:本题20分.

(1)或(2)式4分,(3)、(4)式均3分,(5)式3分,(6)式4分,(7)式3分.

五、参考解答:

1.考察自P发出的任一光线PA,设其与主轴夹角为?,如图所示。设光线在球面上入射角为i,折射角为r,由折射定律

sinisinr?1n (1)

在△PCA中应用正弦定理,有

siniRn?sinrR (2)

比较(1)、(2)两式,在?为锐角的情况下(r必为锐角),有

??r (3) 而r=∠QAC,Q为折射光的反向延长线与主轴交点,于是△QAC∽△APC,及

QCR?RRnQC?nR (4)

,即

与?角无关,得证。

2.两透镜的几何位形如图所示。

设C1为接透镜(L1)的球心,从(物)S发出的光经L1折射后成像于S’。由上小题可知S'C1?n1R1,则

S'O1?n1R1?R1?(n1?1)R。应使

S’发出的光无折射地进入第二个透镜(L2)的前球面,故S’为前球面中心,且前球面半径

R2?S'O2?S'O1?d1?(n1?1)R1?d1?9.5mm (5)

为使S’位于L2的齐明点,又使L2的中央厚度为d2,应有

S'O3?R3?R3n2 (6)

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S'O3?R2?d2?(n1?1)R1?d1?d2 (7)

由(6)、(7)两式可解得后球面半径

R3?(n1?1)R1?d1?d21?1n2?6.77mm (8)

图中S''为S’经L2后所成的像[S''O3?(n2?1)R3],C3为后球面的球心。

S发出的光的孔径角?满足

tan??R1R1n1?n1 (9)

S经L1所成像S’的孔径角设为?1,则

tan?1?R1n1R1?1n1 (10)

?1又是L2的物点的孔径角,?1则为最后的像S''的孔径角。由图不难看出,

tan??S'Asin?1S'Acos?1?S''S'?R2sin?1R2cos?1?S''S'(忽略透镜边缘厚度) (11)

S''S'?n2R3?1n2R3 (12)

???arctanR2sin?1R2cos?1?(n2?1n22?20.0 (13) )R30?k?k1?k2?n1R1R1n1?n2R2R2n2?n1?n2?5.76 (14)

2【点评】本题是齐明点概念在显微镜物镜中的应用,这种物镜称为油浸物镜,是显微镜物镜的主要形式之一。

评分标准:本题20分.

第1小问6分.(1)式1分,(2)式2分,(3)式1分,(4)式2分.

第2小问14分.作图3分,(5)式2分,(8)式3分,(11)式2分,(13)式2分,(14)式2分.

六、参考解答:

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假定地球和木星的轨道均为圆形,则向心力=太阳的引力,有

GMEMSRGM2E?MvEE2REvJ2 (1)

JM2SRJ?MJRJ (2)

其中G为引力常量,MS为太阳质量,ME为地球质量,MJ为木星质量,RE为地球轨道半径,RJ为木星轨道半径,vE为地球公转速度,vJ为木星公转速度。因而

RJ2R?(vE Ev) J已知

T2?EE???2?R EvET2?2?RJJ???v JJ(4)、(5)两式相比,得

RET3ET?vE?(RE JRJR)2JvJ由此得

2RJJ?RE(TT)3?779.8?106km E相对角速度

???E??J?0.0158rad/day 相对速度

v??RE?27.3km/s 木星与地球距离可表示为

d(t)?RJ?RE d(t)?R22J?RE?2RERJcos?t

?RR1EJ[1?2Rcos?t??]2

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(3)

(4)

5)

(6)

(7)

8)

9)

10)

( ( ((?RJ(1?RERJcos?t??) (11)

上述表达式的相对误差[由略去的

RERJRERJ的平方项引起]的数量级为

()?4% (12)

2当观测者在距离d(t)时看到卫星M从阴影中出现,当他在距离d(t?T0)时看到卫星下一次从阴影中出现。光行进距离?d?d(t?T0)?d(t)需要时间,因而观测者看到的是表观周期T而非真实周期T0。

?d?RE[cos?t?cos?(t?T0)]?Re?T0sin?t (13)

因为?T0?0.03,sin?T0??T0,cos?T0?1。我们也可从图的几何关系中直接得到上述近似表达式。

我们也可用另一种方法计算?d。由图得

????? (14)

?T02??????2 (15)

?d(t)??T0REcos???T0REsin(?t?RERJ?T02??) (16)

而?T0?0.03,及???0.19,故?d?Re?T0sin?t

T?T0??d(t)c?T0?RE?T0sin?tc (17)

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