2?(rdru13n)3n?(210)3n?210
n?103 （7）
评分标准：本题20分．
（1）或（2）式4分，（3）、（4）式均3分，（5）式3分，（6）式4分，（7）式3分．
五、参考解答：
1．考察自P发出的任一光线PA，设其与主轴夹角为?，如图所示。设光线在球面上入射角为i，折射角为r，由折射定律
sinisinr?1n （1）
在△PCA中应用正弦定理，有
siniRn?sinrR （2）
比较（1）、（2）两式，在?为锐角的情况下（r必为锐角），有
??r （3） 而r=∠QAC，Q为折射光的反向延长线与主轴交点，于是△QAC∽△APC，及
QCR?RRnQC?nR （4）
，即
与?角无关，得证。
2．两透镜的几何位形如图所示。
设C1为接透镜（L1）的球心，从（物）S发出的光经L1折射后成像于S’。由上小题可知S'C1?n1R1，则
S'O1?n1R1?R1?(n1?1)R。应使
S’发出的光无折射地进入第二个透镜（L2）的前球面，故S’为前球面中心，且前球面半径
R2?S'O2?S'O1?d1?(n1?1)R1?d1?9.5mm （5）
为使S’位于L2的齐明点，又使L2的中央厚度为d2，应有
S'O3?R3?R3n2 （6）
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S'O3?R2?d2?(n1?1)R1?d1?d2 （7）
由（6）、（7）两式可解得后球面半径
R3?(n1?1)R1?d1?d21?1n2?6.77mm （8）
图中S''为S’经L2后所成的像[S''O3?(n2?1)R3]，C3为后球面的球心。
S发出的光的孔径角?满足
tan??R1R1n1?n1 （9）
S经L1所成像S’的孔径角设为?1，则
tan?1?R1n1R1?1n1 （10）
?1又是L2的物点的孔径角，?1则为最后的像S''的孔径角。由图不难看出，
tan??S'Asin?1S'Acos?1?S''S'?R2sin?1R2cos?1?S''S'（忽略透镜边缘厚度） （11）
而
S''S'?n2R3?1n2R3 （12）
???arctanR2sin?1R2cos?1?(n2?1n22?20.0 （13） )R30?k?k1?k2?n1R1R1n1?n2R2R2n2?n1?n2?5.76 （14）
2【点评】本题是齐明点概念在显微镜物镜中的应用，这种物镜称为油浸物镜，是显微镜物镜的主要形式之一。
评分标准：本题20分．
第1小问6分．（1）式1分，（2）式2分，（3）式1分，（4）式2分．
第2小问14分．作图3分，（5）式2分，（8）式3分，（11）式2分，（13）式2分，（14）式2分．
六、参考解答：
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假定地球和木星的轨道均为圆形，则向心力=太阳的引力，有
GMEMSRGM2E?MvEE2REvJ2 （1）
JM2SRJ?MJRJ （2）
其中G为引力常量，MS为太阳质量，ME为地球质量，MJ为木星质量，RE为地球轨道半径，RJ为木星轨道半径，vE为地球公转速度，vJ为木星公转速度。因而
RJ2R?(vE Ev) J已知
T2?EE???2?R EvET2?2?RJJ???v JJ（4）、（5）两式相比，得
RET3ET?vE?(RE JRJR)2JvJ由此得
2RJJ?RE(TT)3?779.8?106km E相对角速度
???E??J?0.0158rad/day 相对速度
v??RE?27.3km/s 木星与地球距离可表示为
d(t)?RJ?RE d(t)?R22J?RE?2RERJcos?t
?RR1EJ[1?2Rcos?t??]2
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（3）
（4）
5）
（6）
（7）
8）
9）
10）
（ （ （（?RJ(1?RERJcos?t??) （11）
上述表达式的相对误差[由略去的
RERJRERJ的平方项引起]的数量级为
()?4% （12）
2当观测者在距离d(t)时看到卫星M从阴影中出现，当他在距离d(t?T0)时看到卫星下一次从阴影中出现。光行进距离?d?d(t?T0)?d(t)需要时间，因而观测者看到的是表观周期T而非真实周期T0。
?d?RE[cos?t?cos?(t?T0)]?Re?T0sin?t （13）
因为?T0?0.03，sin?T0??T0，cos?T0?1。我们也可从图的几何关系中直接得到上述近似表达式。
我们也可用另一种方法计算?d。由图得
????? （14）
?T02??????2 （15）
?d(t)??T0REcos???T0REsin(?t?RERJ?T02??) （16）
而?T0?0.03，及???0.19，故?d?Re?T0sin?t
T?T0??d(t)c?T0?RE?T0sin?tc （17）
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