第28届全国中学生物理竞赛复赛模拟试卷

参考解答与评分标准

（全国中学生物理竞赛委员会及西安交通大学物理系）

一、参考解答： 1．

153209r，

23r

2．本装置的几何结构尽管十分对称，但由于空气中离子分布及宇宙射线等因素的不确定性，使铝筒A1、A2的电势会略有不同。譬如，A1的电势比A2高，由于静电感应，使A1上方的水滴带负电，A2上方的水滴带正电，带电水滴分别滴入下方的铝杯后，使B1杯带负电，由于B1与A2用导线相连，又使A2电势进一步降低，同理A1电势则进一步升高，这又使A1上方的水滴带更多的负电，A2上方的水滴带更多的正电，如此下去，使铝杯B2的电势越来越高，B1的电势越来越低，最终可使两铝杯间产生几千伏的电势差。当然，由于各种因素的不确定性，下次实验开始时，可能A2的电势比A1高，最终使B1的电势比B2的电势高几千伏。但A1、A2因偶然因素造成的电势差因上述正反馈效应而得到放大却是不变的。 【点评】物理系统的对称性因某种原因受到破坏，这种现象称为对称破缺。对称破缺在物理学的许多分支及其他许多学科里已成为一个重要的概念。本题是这方面的一个例子。 3．50km/h

A1A2??0???'20222?7

??由题目给出的条件得到汽车的胁迫力的角频率为??27.77s?1，而车轮转动的频率为

f??2??4.42Hz，这样汽车的速度为v?r??2?rf?13.885m/s?50km/s

4．6.49?109；30

评分标准：本题25分．

第1小问7分．第一空2分，第二空5分 第2小问7分． 第3小问5分． 第4小问6分．第一空3分，第二空3分

二、参考解答：

1．90°

2．当矩形物处于竖直位置即??00时，B不会滑动，矩形物静止。当圆筒缓慢转动使?刚超过0°时，A将离开圆筒内表面而开始倾倒，按题意此时圆筒已停止转动。假定B仍不动，此后，A在竖直平面内从静止开始绕B做圆周运动，圆周运动的径向方程（牛顿第二定律）为

mv2l?mgcos??T （1）

这里v表示A的速度。T是刚性薄片对A的作用力，规定其方向从B到A为正。根据能量守恒，有

mgl(1?cos?)?12mv （2）

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联立（1）、（2）式，得

T?mg(3cos??2) （3）

如果令T=0，可得

??arccos(23 )?48.2°

显见，??48.2°时，作用力是径向正向，对A是推力；??48.20时，作用力是径向反向，对A是拉力。

现在再来看前面被假定不动的B是否运动。我们可以在B处画圆桶内表面的切面，它与水平面成30°夹角，因为假定B不动，其加速度为零，所以B在垂直于切面方向的受力方程为

f??mgcos300?Tcos(300??)?0 （4）

这里f?是圆筒内壁对B的支持力。由（4）式和（3）式可以论证，

如果在?等于60°（A将与圆筒相碰）之前B不动，则f?必将始终不等于零，这就是说，在B开始滑动以前，B不会离开筒壁。B对筒壁的正压力是f?的反作用力，大小和f?相同。式中的T是刚性薄片对B的作用力，它和（1）式中的T大小相等（因薄片质量不计）。由于??1，所以最大静摩擦力fmax的大小就等于正压力。

fmax??f??mgcos300?Tcos(300??) （5）

其方向是沿切面方向。沿切面方向除摩擦力外，B还受到其他力

f∥?mgsin300?Tsin(300??) （6）

只要f∥不大于最大静摩擦力，B就不滑动。这个条件写出来就是

f∥?fmax （7）

B滑动与否的临界点就应由f∥?fmax求出，即

mgcos300?Tcos(300??)?mgsin300?Tsin(300??) （8）

将（3）式的T代入（8）式，化简后得方程

(3cos??2)[cos??(2?3)sin?]?1?0 （9）

这个方程可用数值求解，即取不同的?值代入逐步逼近，最后可得

0??54.9 （10）

?超过此值，B将开始滑动。

评分标准：本题20分． 第1小问5分．

第2小问15分．（3）式4分，（4）、（5）、（6）式均2分，（7）或（8）式2分，（10）式3分．

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三、参考解答：

先考虑一个圆环。

考虑环的一小部分，并引进该小部分在其中静止的参照系。环以恒定的角加速度?运动，于是，我们引进的参照系不是惯性系，它具有一定的线加速度。此加速度的径向分量可不必考虑，因为环很细，观察不到任何径向效应。加速度的切向分量为r?。在我们所取的参照系中，形成金属晶格的正离子处于静止状态。在此参照系中有惯性力作用在电子上，此力的大小为mr?，方向与上述切向加速度方向相反。

晶格与电子间的相互作用下不允许电子无限制地增加速度。根据欧姆定律，此相互作用随电子相对晶格的速度的增大而增大。某一时刻，惯性力与这种相互作用造成的阻力会达到平稳。结果，正离子与负的电子以不同的速度运动。这就是说，在正离子静止的参照系中将有电流流过。

此惯性力大小是常量，方向在环的每一部分均与环相切，它对电子的作用与一个在每一点上与环相切的虚拟电场相同。

现来求此虚拟电场的大小。显然，此电场的作用力应等于惯性力。由此

eE?mr? （1）

因而

E?mr?e （2）

在电阻为R的环（静止）中，上述电场将产生电流

I?2?rER （3）

于是，在所考察的环中的电流应为

I?2?mr?eR2 （4）

诚然，场是虚拟的电场，但它描述了惯性力对电子的一种真实作用。环中的电流是真实的。

以上想法可用来处理题中所述单位长度有n匝线圈（沿对称轴）的很长螺线管的问题，其中流有电流I。大家知道，在此螺线管中，磁场B的大小均匀（在远离两端处），其值为

B??0nI （5）

式中?0为真空磁导率。由于轴上一点不转动，不论在转动非惯性系中还是在实验室参照系中均静止不动，因而在实验室参照系中，在轴的中心处的磁场为

B?2??0nmr?eR2 （6）

【点评】本题颇有启发性。因为，尽管环是电中性的，但出人意料，由于金属的特殊结构，螺线管中却会出现磁场。因此，英语里的电学名词“电动势（electromotive force）”中会含有力学名词“力（force）”也就变得容易理解了。 评分标准：本题17分．

（1）或（2）式3分，（3）式3分，（4）式4分，（5）式3分，（6）式4分．

四、参考解答：

当??0时，即秋千摆至最低点时，由于小孩在秋千上由蹲姿到立姿的转换时间极短，

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故在由A到B以及由E到F的过程中，相对于秋千上方的悬挂点而言，作用于小孩的合力矩为零，故小孩的角动量守恒。设

m=小孩的质量；

r=小孩的质心至秋千悬挂点的距离； ?=秋千相对于悬挂点的角速度；

2L?mr?=小孩相对于悬挂点的角动量。

当小孩由蹲姿转换到立姿时，即从A到B或由E到F，其质心至悬挂点的距离由rd变至ru，所对应的角速度由?d变至?u，由角动量守恒定律得

mrd?d?mru?u （1）

22?u?(rdru2)?d （2）

亦即当秋千在最低点时，小孩每一次由蹲姿站起来摆荡时，角速率增加(rdru2)倍。

当秋千从B摆至C的过程中，机械能守恒，故小孩的重力势能的增加量等于动能的减少量，即

mgru(1?cos?)?1222mru?u （3）

当秋千摆至C时，小孩由站姿转换为蹲姿，因此其质心至悬挂点的距离，由ru变长为rd，即质心的位置从C变至D，因此质心的重力势能已改变。当秋千从D摆至E时，设其角速率为?d'，则同理利用机械能守恒定律，可得

mgrd(1?cos?)?122'mrd?d （4）

2由（3）、（4）两式可得

?d?'2rurd2?u （5）

将（2）式代入（5）式，可得

?d?'2rurd?(rdru342)?d

?'d?(rdru)2?d （6）

即秋千每摆荡半圈时，其角速率增加(rdru3)2倍；因此每摆荡一圈，则角速率增加(rdru3)倍。

秋千摆荡的角幅和其在最低点的角速率成正比。若秋千摆荡n圈后，角幅增为起始时的两倍，则

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