A．第一列 C．第三列
B．第二列 D．第四列
解析 正奇数从小到大排，则89位居第45位，而45＝4×11＋1，故89位于第四列． 答案 D
10．(2013·长沙模拟)我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，
另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O－ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为
22
A．S2＝S21＋S2＋S3
( )．
2
3
111
B．S2＝S2＋S2＋S2 1
C．S＝S1＋S2＋S3
111
D．S＝S＋S＋S 1
2
3
解析 如图，作OD⊥BC于点D，连接AD，由立体几何知识知，AD⊥BC，121?1?1222222
AD?2＝BC2·从而S2＝?2BC·AD＝BC·(OA＋OD)＝(OB＋OC)·OA＋
44??4112?2?1?2?1?2?222
OA?＋?2OC·OA?＋?2BC·OD?2＝S1?2OB·BC·OD＝＋S2＋S3. 4??????答案 A 二、填空题
5
11．(2014·九江模拟)已知i是虚数单位，则
解析
2
＝1－i. 1＋i
2
＝________. 1＋i
答案 1－i
1＋ai
12．(2014·西安中学模拟)设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a＝
2－i
________. 解析
1＋ai?1＋ai??2＋i?2－a2a＋1
＝＝5＋5i， 2－i?2－i??2＋i?
2－a
由题意知：5＝0，∴a＝2. 答案 2
13．(2013·浙江卷)若某算法框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于
________．
13
解析 第一步：S＝1＋＝，k＝2；
22315
第二步：S＝2＋＝，k＝3；
2×33517
第三步：S＝3＋＝4，k＝4；
3×4719
第四步：S＝4＋＝5，k＝5，
4×5
6
9
结束循环．输出S＝5. 9
答案 5 14．(2014·安康中学模拟)若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值为
________．
解析 第一次：n＝3×5＋1＝16，k＝1； 第二次：n＝16
2＝8，k＝2； 第三次：n＝8
2＝4，k＝3； 第四次：n＝4
2＝2，k＝4； 第五次：n＝2
2＝1，k＝5， 此时满足条件，输出k＝5. 答案 5
15．(2013·陕西卷)观察下列等式
12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 ……
7
照此规律，第n个等式可为________．
解析 观察规律可知，第n个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n
＋1
n?n＋1?
2. n?n＋1?
答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋12 16．(2014·兰州质检)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆面积
S11
为S1，外接圆面积为S2，则S＝4.推广到空间几何可以得到类似结论：若正
2V1
四面体A－BCD的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则V＝________.
2
解析 平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，V11
球的体积与球的半径的立方成正比，所以V＝27. 2
1
答案 27 三、解答题
17．在单调递增数列{an}中，a1＝2，不等式(n＋1)an≥na2n对任意n∈N*都成立．
(1)求a2的取值范围；
(2)判断数列{an}能否为等比数列，并说明理由． 解 (1)因为{an}是单调递增数列，所以a2＞a1，即a2＞2.
又(n＋1)an≥na2n，令n＝1，则有2a1≥a2，即a2≤4，所以a2∈(2,4]． (2)数列{an}不能为等比数列． 用反证法证明：
假设数列{an}是公比为q的等比数列，由a1＝2＞0，得an＝2qn－1. 因为数列{an}单调递增，所以q＞1. 因为(n＋1)an≥na2n对任意n∈N*都成立， 1
所以对任意n∈N*，都有1＋n≥qn.① 因为q＞1，所以存在n0∈N*， 使得当n≥n0时，qn＞2. 1
因为1＋n≤2(n∈N*)．
8
1
所以存在n0∈N*，使得当n≥n0时，qn＞1＋n，与①矛盾，故假设不成立． 18．(2014·福州质检)阅读下面材料：
根据两角和与差的正弦公式，有 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，
① ② ③
由①＋②得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β， A＋BA－B
令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝2，β＝2， 代入③得sin A＋sin B＝2sin
A＋BA－B2cos2.
(1)类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cos A－cos B＝A＋BA－B－2sin2sin2；
(2)若△ABC的三个内角A，B，C满足cos 2A－cos 2B＝1－cos 2C，试判断△ABC的形状．
(提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及(1)中的结论) 解 (1)因为cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，① cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，②
①－②得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sin αsin β.③ A＋BA－B
令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝2，β＝2， 代入③得cos A－cos B＝－2sin
A＋BA－B2sin2. (2)由二倍角公式，cos 2A－cos 2B＝1－cos 2C可化为1－2sin2A－1＋2sin2B＝1－1＋2sin2C， 所以sin2A＋sin2C＝sin2B.
设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 由正弦定理可得a2＋c2＝b2.
根据勾股定理的逆定理知△ABC为直角三角形．
9