A．23＋1 C.3－1
【解析】 在△ABC中，BC＝＝
100sin 15°
－
B．23－1 D．3＋1
ABsin∠BAC
sin∠ACB＝50(6－2)，
在△BCD中，sin∠BDC＝＝
6－2
50
BCsin∠CBD CD＝3－1，
又∵cos θ＝sin∠BDC，∴cos θ＝3－1. 【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．(2015·黄冈高级中学高二期中测试)△ABC为钝角三角形，且∠C为钝角，则a2＋b2与c2的大小关系为 ．
a2＋b2－c2【解析】 ∵cos C＝，且∠C为钝角．
2ab∴cos C<0，∴a2＋b2－c2<0.故a2＋b2 14．(2013·安徽高考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝ . 【解析】 由3sin A＝5sin B，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a， 57 所以a＝b，c＝b， 33 ?5?2?7?22 b???b?＋b－ a2＋b2－c2?3?12π?3? 所以cos C＝＝＝－.因为C∈(0，π)，所以C＝. 2ab523 2×b×b3【答案】 2π 3 15．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于 ，AC的取值 cos AAC范围为 ． 【解析】 设A＝θ?B＝2θ. 由正弦定理得∴ ACsin 2θ＝BCsin θ， AC2cos θ＝1? ACcos θ＝2. 由锐角△ABC得0°<2θ<90°?0°<θ<45°. 又0°<180°－3θ<90°?30°<θ<60°， 故30°<θ<45°? 23 ∴AC＝2cos θ∈(2，3)． 【答案】 2 (2，3) 16．(2014·全国卷Ⅰ)如图3，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝ m. 图3 【解析】 根据图示，AC＝1002 m. 在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得在△AMN中， ACsin 45° ＝AMsin 60° ?AM＝1003 m. MN＝sin 60°， AM3 ＝150(m)． 2 ∴MN＝1003×【答案】 150 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， asin Asin B＋bcos2A＝2a. (1)求； (2)若c2＝b2＋3a2，求B. 【解】 (1)由正弦定理得，sin2Asin B＋sin Bcos2A＝2sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝2sin A. 故sin B＝2sin A，所以＝2. (2)由余弦定理和c2＝b2＋3a2， 得cos B＝ ＋3 2cbabaa. 由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2. 1 可得cos2B＝，又cos B>0， 2故cos B＝ 2 ，所以B＝45°. 2 18．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3 且a＝2，cos B＝. 5 (1)若b＝4，求sin A的值； (2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值． 3 【解】 (1)∵cos B＝>0，且0 54 ∴sin B＝1－cos2B＝. 5由正弦定理得 asin A＝45 bsin B， asin B2 sin A＝＝＝. b451 (2)∵S△ABC＝acsin B＝4， 2 2× 14 ∴×2×c×＝4，∴c＝5. 25 3 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝22＋52－2×2×5×＝17，∴b＝17. 519．(本小题满分12分)(2015·安徽高考)在△ABC中，∠A＝＝32，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长． 【解】 设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos ∠BAC＝(32)2＋62－2×32×6×cos ＝18＋36－(－36)＝90， 所以a＝310. 又由正弦定理得sin B＝由题设知0 π， 4 2 3π ，AB＝6，AC4 3π4 bsin ∠BAC310 ＝＝， a10310 所以cos B＝1－sinB＝ 13101－＝. 1010 在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B，故由正弦定理得AD＝ AB·sin B6sin B3 ＝＝＝10. －2B2sin Bcos Bcos B20．(本小题满分12分)某观测站在城A南偏西20°方向的C处，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路距C处31千米的B处有一人正沿公路向城A走去，走了20千米后到达D处，此时C、D间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A? 【解】 如图所示， 设∠ACD＝α，∠CDB＝β.