章末综合测评(一)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，若sin A＋cos A＝A．钝角三角形 C．锐角三角形
7
，则这个三角形是( ) 12
B．直角三角形 D．等边三角形
7
，∴A>90°. 12
【解析】 若A≤90°，则sin A＋cos A≥1>【答案】 A
2．在△ABC中，内角A满足sin A＋cos A>0，且tan A－sin A<0，则A的取值范围是( )
π??
A.?0，?
4???π3π?
C.?，?
4??2
?ππ?
B.?，?
2??4?π3π?
D．?，?
4??4
π??
【解析】 由sin A＋cos A>0得2sin?A＋?>0.
4??∵A是△ABC的内角，∴0 3π . ① 4 ② π π3π 【答案】 C 3．已知锐角三角形的三边长分别为1,3，a，那么a的取值范围为( ) 【导学号：05920080】 A．(8,10) C．(22，10) B．(22，10) D．(10，8) 【解析】 设1,3，a所对的角分别为∠C、∠B、∠A，由余弦定理知a2＝12 ＋32－2×3cos A<12＋32＝10， 32＝1＋a2－2×acos B<1＋a2， ∴22 4．已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝162，则三角形的面积为( ) A．22 C.2 【解析】 ∵ B．82 D． 2 2 asin A＝bsin B＝csin C＝2R＝8， c1abc162 ∴sin C＝，∴S△ABC＝absin C＝＝＝2. 821616【答案】 C 5．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c， b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为( ) A. πππ2π B. C. D． 6323 【解析】 p∥q?(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0， 222 a＋b－c1 即c2－a2－b2＋ab＝0?＝＝cos C. 2ab2 ∴C＝ π . 3 【答案】 B 6．在△ABC中，若sin Bsin C＝cos，则下面等式一定成立的是( ) 2A．A＝B C．B＝C 【解析】 由sin Bsin C＝cos2＝ 2－C)－cos(B＋C)＝1＋cos A. B．A＝C D．A＝B＝C 2 AA1＋cos A2 ?2sin Bsin C＝1＋cos A?cos(B又cos(B＋C)＝－cos A?cos(B－C)＝1，∴B－C＝0，即B＝C. 【答案】 C 7．一角槽的横断面如图1所示，四边形ADEB是矩形，且α＝50°，β＝70°， AC＝90 mm，BC＝150 mm，则DE的长等于( ) 图1 A．210 mm C．198 mm B．200 mm D．171 mm 【解析】 ∠ACB＝70°＋50°＝120°，在△ABC中应用余弦定理可以求出 AB的长，即为DE的长． 【答案】 A 8．(2014·江西高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，π 若c＝(a－b)＋6，C＝，则△ABC的面积是( ) 3 2 2 A．3 B. 9333 C. D．33 22 【解析】 ∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.① ∵C＝ ππ ，∴c2＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab.② 33 由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6. 11333∴S△ABC＝absin C＝×6×＝. 2222【答案】 C 9．(2015·山东省实验中学期末考试)已知在△ABC中，sin A＋sin B＝sin C(cos A＋cos B)，则△ABC的形状是( ) A．锐角三角形 C．等腰三角形 B．钝角三角形 D．直角三角形 b2＋c2－a2a2＋c2－b2 【解析】 由正弦定理和余弦定理得a＋b＝c＋，即2a2b2bc2ac＋2ab2＝ab2＋ac2－a3＋a2b＋bc2－b3，∴a2b＋ab2＋a3＋b3＝ac2＋bc2，∴(a＋b)(a2 ＋b2)＝(a＋b)c2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形，故选D. 【答案】 D 10．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin Bsin C＋sin2C，则A＝( ) A．30° C．120° B．60° D．150° 【解析】 由已知得a2＝b2＋bc＋c2， 222b＋c－a1 ∴b2＋c2－a2＝－bc，∴cos A＝＝－， 2bc2 又0° 11．在△ABC中，A∶B＝1∶2，∠ACB的平分线CD把△ABC的面积分成3∶2两部分，则cos A等于( ) 113 A. B. C. D．0 324 【解析】 ∵CD为∠ACB的平分线， ∴D到AC与D到BC的距离相等． ∴△ACD中AC边上的高与△BCD中BC边上的高相等． ∵S△ACD∶S△BCD＝3∶2，∴由正弦定理∴ AC3 ＝. BC2 sin B3 ＝，又∵B＝2A， sin A2 sin 2A32sin Acos A33 ＝，即＝，∴cos A＝. sin A2sin A24 【答案】 C 12.如图2，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B后，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ( ) 图2