代数与几何综合题

类型一 动点型探究题

1. 如图①，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2 cm/s.以AQ、PQ为边作四边形AQPD，连接DQ，交AB于点E.设运动的时间为t(单位：s)(0＜t≤4)，解答下列问题： (1)用含有t的代数式表示AE＝____；

(2)如图②，当t为何值时，四边形AQPD为菱形； (3)求运动过程中，四边形AQPD的面积的最大值．

第1题图

解：(1)5－t；

【解法提示】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，∴由勾股定理得：AB＝10 cm，∵点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2 cm/s，∴BP＝2t cm，∴AP＝AB－BP＝10－2t，∵四边形AQPD为平行四边形，∴AE1

＝2AP＝5－t.

AEAC

(2)如解图①，当四边形AQPD是菱形时，DQ⊥AP，则cos∠BAC＝AQ＝AB，

5－t825即2t＝10，解得t＝13，

25

∴当t＝13时，四边形AQPD是菱形；

(3)如解图②，作PM⊥AC于M，设平行四边形AQPD的面积为S.

∵PM∥BC， ∴△APM∽△ABC， 10－2tPMAPPM

∴AB＝BC，即10＝6， 6

∴PM＝5(5－t)，

2612212?5?∴S＝AQ·PM＝2t·t???15(0＜t≤4)， 5(5－t)＝－5t＋12t=?5??2?125

∵－5＜0，∴当t＝2时，S有最大值，最大值为15 cm2.

第1题解图

2. 已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，AB＝6，D是AB的中点，动点E从点D出发，在AB边上向左或右运动，以CE为边向左侧作正方形CEFG，直线BG，FE相交于点N(点E向左运动时如图①，点E向右运动时如图②)．

(1)在点E的运动过程中，直线BG与CD的位置关系为________； (2)设DE＝x，NB＝y，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值； (3)如图②，当DE的长度为3时，求∠BFE的度数．

第2题图

解：(1)BG∥CD；

【解法提示】∵四边形EFGC是正方形，∴CG＝CE，∠GCE＝∠GFE＝∠FEC＝90°，∵∠ACB＝∠GCE＝90°，∴∠GCB＝∠ECA，∵GC＝CE，CB＝CA，∴△CAE≌△CBG.又∵∠ACB＝90°，BC＝AC，D是AB的中点，∴∠CBG＝∠CAE＝45°，∠BCD＝45°，∴∠CBG＝∠BCD，∴BG∥CD. (2)∵CB＝CA，CD⊥AB，∠ACB＝90°，

∴CD＝BD＝AD＝3，∠CBA＝∠A＝45°，

易得△CAE≌△CBG， ∴∠CBG＝∠A＝45°，

∴∠GBA＝∠GBC＋∠CBA＝90°.

∵∠BEN＋∠BNE＝90°，∠BEN＋∠CED＝90°， ∴∠BNE＝∠CED， ∵∠EBN＝∠CDE＝90°， ∴△NBE∽△EDC， ∴BNBEED＝CD， ∴y3－xx＝3，

∴y＝－13233(x－2)＋4，

∵－13＜0，∴x＝332时，y的最大值为4；

(3)如解图，作FH⊥AB于点H.∵CB＝CA，BD＝CD，∠∴CD⊥AB，CD＝BD＝AD＝3， ∴tan∠DCE＝DE3

CD＝3， ∴∠DCE＝30°，

BCA＝90°，