又所得柱体的高EG＝6－2x，
8?
所以V＝S?EG＝(－23)(－x3＋3x2) ，其中0＜x＜3. ……………………………………
3
10分
令f(x)＝－x3＋3x2，x∈(0，3)，则由f?(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)＝0， 解得x＝2． ………………………………………………………………………………………12分
列表如下： (0，2) (2，3) x 2 f?(x) 0 ＋ － f(x) ↗ 极大值 ↘ 所以当x＝2时，f(x)取得最大值. 答：当BE的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大. ……………………………………14分
32 33
18．解：（1）由N(3，)，Q(，0)，得直线NQ的方程为y＝x－3．……………………
232
2分
令x＝0，得点B的坐标为(0，－3)．
x2y2
所以椭圆的方程为＋＝
a23
1 ．…………………………………………………………………… 4分
3()2223(3)
将点N的坐标(3，)代入，得2＋＝1，解得a2＝4．
2a3
x2y2
所以椭圆C的标准方程为＋＝
43
1．…………………………………………………………… 8分
（2）方法一：设直线BM的斜率为k(k＞0)，则直线BM的方程为y＝kx－3．
33
在y＝kx－3中，令y＝0，得xP＝，而点Q是线段OP的中点，所以xQ＝．
k2k0－(－3)
所以直线BN的斜率kBN＝kBQ＝＝2k．………………………………………………
3 －02k
10分
kx－3，??y＝8 3k
联立?x2y2，消去y，得(3＋4k2)x2－83kx＝0，解得xM＝2 ． 3＋4k ＋＝1??43
16 3k
用2k代k，得xN＝ ．……………………………………………………………………
3＋16k2
12分
→→又DN＝2NM，所以xN＝2(xM－xN)，得2xM＝3xN．…………………………………………… 14分
8 3k16 3k6故2?＝3?，又k＞0，解得k＝．
23＋4k23＋16k2
高三数学试题第9页（共4页）
所以直线BM的方程为y＝
6x－3． …………………………………………………………2
16分
方法二：设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
y1＋3
由B(0，－3)，得直线BM的方程为y＝ x－3，
x1
3x1
令y＝0，得xP＝．
y1＋33x2
同理，得xQ＝．
y2＋3
3x13x2
而点Q是线段OP的中点，所以xP＝2xQ，故＝2?． …………………………
y1＋3y2＋3
10分
4
→→321又DN＝2NM，所以x2＝2(x1－x2)，得x2＝x1＞0，从而＝，
3y1＋3y2＋3
4
解得y2＝y1＋
3
3
．…………………………………………………………………………………12分 3
2x2＝x1，
3x12(4y1＋3)2
将代入到椭圆C的方程中，得＋＝1．
92743
y2＝y1＋，
33
y12
4(1－)23(4y1＋3)2y12
又x1＝4(1－)，所以＋＝
3927
1，………………………………………………14分
即3y12＋2y1－3＝0，
34 23
解得y1＝－3（舍）或y1＝．又x1＞0，所以点M的坐标为M(，)．
333
6
故直线BM的方程为y＝x－
2
3．……………………………………………………………… 16分 19．解：（1）由题意，可得an2＝(an＋d)(an－d)＋?d2，
化简得(?－1)d2＝0，又d≠0，所以?＝1. …………………………………………………………4分
（2）将a1＝1，a2＝2，a3＝4代入条件，可得4＝1?4＋?，解得?＝0，
－
所以an2＝an＋1an－1，所以数列{an}是首项为1，公比q＝2的等比数列，所以an＝2n
1. ………6分
－－
欲存在r∈[3，7]，使得m?2n1≥n－r，即r≥n－m?2n1对任意n∈N*都成立，
n－7－1
则7≥n－m?2n，所以m≥n－1 对任意n∈N*都成
2
立. …………………………………………8分
???
高三数学试题第10页（共4页）
n－7n－6n－78－n
令bn＝n－1，则bn＋1－bn＝n－n－1＝n，
2222
所以当n＞8时，bn＋1＜bn；当n＝8时，b9＝b8；当n＜8时，bn＋1＞bn．
1
所以bn的最大值为b9＝b8＝ ，所以m的最小值为
1281
.………………………………………10分 128
（3）因为数列{an}不是常数列，所以T≥2．
?a22＝a12＋?(a2－a1)2，
①若T＝2，则an＋1＝an恒成立，从而a3＝a1，a4＝a2，所以?2
?a1＝a22＋?(a2－a1)2，
所以?(a2－a1)2＝0，又?≠0，所以a2＝a1，可得{an}是常数列，这与已知条件矛盾， 所以T＝2不合题意. …………………………………………………………………………………12分
??1，n＝3k－2，
②若T＝3，取an＝?2，n＝3k－1，(k∈N*)（*），满足an＋3＝an恒成立．……………………
??－3，n＝3k，
14分
由a22＝a1a3＋?(a2－a1)2，可得此时?＝7． 则条件式变为an2＝an＋1an－1＋7．
由22＝1?3＋7，知a3k－12＝a3k－2a3k＋?(a2－a1)2； 由(－3)2＝2?1＋7，知a3k2＝a3k－1a3k＋1＋?(a2－a1)2； 由12＝(－3)?2＋7，知a3k＋12＝a3ka3k＋2＋?(a2－a1)2； 所以，数列（*）适合题意． 所以T的最小值为3. …………………………………………………………………………………16分
（注：写一个数列{an}时，需满足a1＋a2＋a3＝0，且a1≠a2．）
1
20．解：（1）由f(x)＝lnx，得f(1)＝0，又f?(x)＝，所以f?(1)＝1．
x
bb
当c＝0时，g(x)＝ax＋ ，所以g?(x)＝a－2 ，所以g?(1)＝a－b．……………………………
xx
2分
因为函数f(x)与g(x)的图象在x＝1处有相同的切线，
?f?(1)＝g?(1)，?a－b＝1，??所以即解得?f(1)＝g(1)，?a＋b＝0，
1a＝，2
1 …………………………………………………4分 b＝－．2
（2）方法一：当x0＞1时，则f(x0)＞0，又b＝3－a，设t＝f(x0)，
3－a
则题意可转化为方程ax＋－c＝t(t＞0) 在(0，＋∞)上有相异两实根x1，
x
x2， ……………6分
即关于x的方程ax2－(c＋t)x＋(3－a)＝0(t＞0)在(0，＋∞)上有相异两实根x1，x2．
???
高三数学试题第11页（共4页）
0＜a＜3，
△＝(c＋t)2－4a(3－a)＞0，
3，??0＜a＜c＋t
所以x1＋x2＝得?(c＋t)2＞4a(3－a)， ＞0，
a
??c＋t＞0．
3－ax1x2＝＞0．
a
所以c＞2a(3－a)－t 对任意t∈(0，＋∞)恒成立．…………………………………………… 8分
a＋3－a3
因为0＜a＜3，所以2a(3－a)≤2?＝3(当且仅当a＝时取等号)．
22
又－t＜0，所以2a(3－a)－t的取值范围是(－∞，3)，所以c≥3． 故c的最小值为3. …………………………………………………………………………………10分
3－aax2－(3－a)3－a
方法二：由b＝3－a，且0 ＜a＜3，得g?(x)＝a－2＝＝0，得 x＝
xx2a
3－a
或x＝－(舍)，
a
3－a3－a
则函数g(x)在(0，)上递减；在(，＋∞)上递增．
aa
又对任意x0＞1，f(x0)为(0，＋∞)上的任意一个值，若存在不相等的正实数x1，x2， 使得g(x1)＝g(x2)＝f(x0)，则g(x)的最小值小于或等于0.
3－a
即g()＝2a(3－a)－c≤0， ……………………………………………………………
a
6分
即c≥2a(3－a)对任意 a∈(0，3)恒成立．
又2a(3－a)≤a＋(3－a)＝3，所以c≥3．…………………………………………………… 8分
当c＝3，对任意a∈(0，3)，x0∈(1，＋∞)，方程g(x)－f(x0)＝0化为
3－aax＋－3－f(x0)＝0，即ax2－[3＋f(x0)]x＋(3－a)＝0（*）
x
关于x的方程（*）的△＝[3＋f(x0)]2－4a(3－a)
a＋3－a?2
≥[3＋f(x0)]2－4?
2??
＝[3＋f(x0)]2－9,
因为x0＞1，所以f(x0)＝lnx0＞0，所以△＞0，
f(x0)＋33－a
所以方程（*）有两个不相等的实数解x1，x2，又x1＋x2＝＞0，x1x2＝＞0，
aa
所以x1，x2为两个正实数解． 所以c的最小值为3. ……………………………………………………………………………10分 （3）当a＝1时，因为函数f(x)与g(x)的图象交于A，B两点，
?????
高三数学试题第12页（共4页）