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1.7.1 定积分在几何中的应用
明目标、知重点
会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．
1．当x∈[a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝?baf(x)dx.
2．当x∈[a，b]时，若f(x)<0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积S＝－?baf(x)dx.
3．当x∈[a，b]时，若f(x)>g(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积S＝?ba[f(x)－g(x)]dx.(如图)
探究点一 求不分割型图形的面积
思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？
答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．
例1 计算由曲线y2＝x，y＝x2所围图形的面积S.
2
??y＝x，解 由?得交点的横坐标为x＝0及x＝1. 2
?y＝x?
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因此，所求图形的面积为 S＝S曲边梯形OABC—S曲边梯形OABD
12
＝?10xdx－?0xdx
23131＝x|10－x|0 323211＝－＝. 333
反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤： (1)根据题意画出图形；
(2)找出范围，确定积分上、下限； (3)确定被积函数； (4)将面积用定积分表示；
(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．
跟踪训练1 求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．
2
??y＝x－4解 由?
?y＝－x＋2?
?x＝－3?x＝2??
得?或?， ??y＝5y＝0??
所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S，
22
根据图形可得S＝?2－3(－x＋2)dx－?－3(x－4)dx
1132＝(2x－x2)|2－3－(x－4x)|－3 232525125＝－(－)＝. 236
探究点二 分割型图形面积的求解
思考 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲
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线不同时，这种图形的面积如何求呢？
答 求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下．
例2 计算由直线y＝x－4，曲线y＝2x以及x轴所围图形的面积S. 解 方法一 作出直线y＝x－4，曲线y＝2x的草图．
?y＝2x，解方程组?
y＝x－4?
得直线y＝x－4与曲线y＝2x交点的坐标为(8,4)． 直线y＝x－4与x轴的交点为(4,0)． 因此，所求图形的面积为 S＝S1＋S2
88
＝?402xdx＋[? 42xdx－? 4(x－4)dx]
22322312824x|0＋x2|8＝4－(x－4)|4 33240＝. 3
方法二 把y看成积分变量，则 1212134
S＝?4(y＋4－y)dy＝(y＋4y－y)| 0
226040
＝. 3
反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x运算较繁锁，则积分变量可选y，同时要更换积分上、下限．
1
跟踪训练2 求由曲线y＝x，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积．
3解 画出图形，如图所示．
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?y＝x，
解方程组?
?x＋y＝2，
x＋y＝2，???y＝x，?
?及? 11
???y＝－3x，?y＝－3x，
得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，
113
所以S＝?1[x－(－x)]dx＋?[(2－x)－(－x)]dx 01
33113
＝?1(x＋x)dx＋?(2－x＋x)dx 01
3323112123
＝(x＋x2)|1＋(2x－x＋x)|1 3260262113＝＋＋(2x－x2)|1 363511＝＋6－×9－2＋ 63313＝. 6
探究点三 定积分的综合应用
1
例3 在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为，试
12求：
切点A的坐标以及在切点A处的切线方程． 解 如图，设切点A(x0，y0)，
其中x0≠0，
由y′＝2x，过点A的切线方程为 y－y0＝2x0(x－x0)， 即y＝2x0x－x20，
x0x0令y＝0，得x＝，即C(，0)，
22
设由曲线和过点A的切线与x轴围成图形的面积为S， 则S＝S曲边△AOB－S△ABC，
11
∵S曲边△AOB＝?x00x2dx＝x3|x00＝x3，
330
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