精品解析：北京市海淀区2020届高三5月高考二模数学（理）

试题解析（学生版）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）若sin?cos?<0，则角?是 （A）第一或第二象限角 （B）第二或第三象限角 （C）第三或第四象限角 （D）第二或第四象限角 （2）已知命题p：?x0?R，2x0?1．则?p是 （A）?x0?R，2x0?1 （C）?x0?R，2x0?1

（B）?x0?R，2x0?1 （D）?x0?R，2x0?1

?x?1?t（3）直线?（t为参数）的倾斜角的大小为

?y?1?t（A）?? 4 （B）

? 4 （C）

? 2 （D）

3? 4ì???x-??（4）若整数x,y满足?íx+????y￡???（A）1

y?1,y?1, 则2x+y的最大值是 3,2 （C）2 （D）3

（B）5

（6）为了得到函数y=log2（A）纵坐标缩短到原来的

x-1的图象，可将函数y=log2x的图象上所有的点的

1倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度 21（B）纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度

2（C）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度 （D）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度 （7）某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是 （A）

20 3 （B）

4 3（C）6

（D）4

（8）点P(x,y)是曲线C:y=1曲线C在点P处的切线与x轴、y(x>0)上的一个动点，

x轴分别交于A,B两点，点O是坐标原点. 给出三个命题：①PA=PB；②?OAB的周长有最小值4+22；③曲线C上存在两点M,N，使得?OMN为等腰直角三角形．其中真命题的个数是

（A）１ （B）２ （C）３ （D）０

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）在面积为1的正方形ABCD内部随机取一点P，则?PAB的面积大于等于是_________． （

1

0

）

已

知

1的概率4(x?1)10?a1?a2x?a3x2?L?a11x10. 若数列

a1,a2,a3,L,ak(1＃k11,k?Z)是一个单调递增数列，则k的最大值是 .

（11）在?ABC中，若?A120?，c=5，?ABC的面积为53，则a= .

（12）如图，eO的直径AB与弦CD交于点P，

CP=

7, PD=5, AP=1，则DDCB＝______. 5

（13）某同学为研究函数f(x)=1+x2+1+(1-x)2(0＃x1)的性质，构造了如图

所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则AP+PF=f(x). 请你参考这些信息，推知函数f(x)的图象的对称轴是 ；函数g(x)=4f(x)-9的零点的个数是 .

（14）曲线C是平面内到定点A(1,0)的距离与到定直线x=-1的距离之和为3的动点P的轨迹. 则曲线C与y轴交点的坐标是 ；又已知点B(a,1)（a为常数），那么PB+PA的最小值d(a)= .

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）

已知公差不为０的等差数列{an}的前n项和为Sn，S3=a4+6，且a1,a4,a13成等比数列.

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）求数列{1}的前n项和公式. Sn (16)（本小题满分14分）

如图所示，PA^平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，?CBA30?，PA=AB=2，点E为线段PB的中点，点

AB上，且OM∥AC． M在?（Ⅰ）求证：平面MOE∥平面PAC； （Ⅱ）求证：平面PAC^平面PCB； （Ⅲ）设二面角M

?BP?C的大小为?，求cos?的值．

(17)（本小题满分13分）

某公司准备将100万元资金投入代理销售业务，现有A,B两个项目可供选择： (1)投资A项目一年后获得的利润X1(万元)的概率分布列如下表所示：

X1 P 11 12 0.4 17 a b 且X1的数学期望E(X1)=12；

(2)投资B项目一年后获得的利润X2(万元)与B项目产品价格的调整有关， B项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p(0< p <1)和1?p. 经专家测算评估:B项目产品价格一年内调整次数

X(次)与X2的关系如下表所示：

X(次) 0 1 2 20.40 X2(万元) 4.12 11.76 （Ⅰ）求a,b的值； （Ⅱ）求X2的分布列；

（Ⅲ）若E(X1)< E(X2)，则选择投资B项目，求此时 p的取值范围.

(18)（本小题满分13分）

x2y22)在椭圆C已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的右焦点为F(1,0)，且点(?1,2ab上.

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点.试问x轴上是否存在定点Q，使

uuuruuur7得QA?QB??恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

16

(19)（本小题满分14分）

已知函数f(x)?aln(x?a)?（Ⅰ）求f(x)的单调区间；

12x?x(a?0). 2（Ⅱ）若?1?a?2(ln2?1)，求证：函数f(x)只有一个零点x0，且a?1?x0?a?2； （Ⅲ）当a??4时，记函数f(x)的零点为x0，若对任意x1,x2?[0,x0]且x2?x1?1,都有5f(x2)?f(x1)?m成立，求实数m的最大值.

（本题可参考数据：ln2?0.7,ln

99?0.8,ln?0.59） 45（Ⅲ）当正整数n?6时，求证：f(n)?4n?13．