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高中数学之排列组合二项式定理

一、分类计数原理和分步计数原理：

分类计数原理：如果完成某事有几种不同的方法，这些方法间是彼此独立的，任选其中一种

方法都能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。

分步计数原理：如果完成某事，必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而—个步骤

中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接，只有依次完成所有各步，才能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。

区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类

与类之间是相互独立的，即“分类完成”；如果只有当n个步骤都做完，这件事才能完成，则选用分步计数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成”。 二、排列与组合：

（1）排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出n个元素的问题；

区别：前者有顺序，后者无顺序。

（2）排列数、组合数：

排列数的公式：An?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)?n注意：①全排列：An?n!；

mn!(m?n)

(n?m)!②记住下列几个阶乘数，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720； 排列数的性质：

mm?1①An?nAn?1（将从n个不同的元素中取出m(m?n)个元素，分两步完成：

第一步从n个元素中选出1个排在指定的一个位置上；

第二步从余下n?1个元素中选出m?1个排在余下的m?1个位置上）

mm?1m②An?mAn?1?An?1（将从n个不同的元素中取出m(m?n)个元素，分两类完成：

第一类：m个元素中含有a，分两步完成：

第一步将a排在某一位置上，有m不同的方法。

第二步从余下n?1个元素中选出m?1个排在余下的m?1个位置上） 即有mAn?1种不同的方法。

第二类：m个元素中不含有a，从n?1个元素中取出m个元素排在m个

位置上，有An?1种方法。

mAnn(n?1)(n?2)?(n?m?1)n!组合数的公式：C?m??(m?n)

m!m!(n?m)!Ammnmm?1组合数的性质：

mn?m①Cn?Cn（从n个不同的元素中取出m个元素后，剩下n?m个元素，也就是说，

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从n个不同的元素中取出m个元素的每一个组合，都对应于从n个不同的元素中取出n?m个元素的唯一的一个组合。）

mmm?1m?1②Cn?Cn?1?Cn?1（分两类完成：第一类：含a，有Cn?1种方法；第二类：不含a，

有Cn?1种方法；）

m③Cn?mnm?1先选出1个元素，第二步：再从余下n?1个元素中选出m?1Cn?1（第一步：

m个，但有重复，如先选出a1，再选出a2,a3,?,am组成一个组合，与先选出a2，再选出a1,a3,?,am组成一个组合是相同的，且重复了m次）

mm?1m?1m?1m?1④Cn?Cn?1?Cn?2?Cn?3???Cm?1(m?n)（分n?m?1类：第一类：含a1，

为Cn?1；第二类：不含a1，含a2，为Cn?2；第三类：不含a1，不含

m?1m?1a2，含a3，为Cnm??31；……）

mm0m?111m?1m⑤Cn?CrCn?r?CrCn?r???CrCn?r?Cn?r（将n元素分成分成两个部分，第

一部分含r(r?m)个元素，第二部分含n?r(n?r?m)个元素：

m0在第一部分中取m个元素，在第二部分不取元素，有CrCn?r；

在第一部分中取m?1个元素，在第二部分取1个元素，有

1Crm?1Cn?r；……）

（3）排列、组合的应用：

解排列组合应用题时主要应抓住是排列问题还是组合问题，其次要搞清需要分类，还是需要分步

切记：排组分清(有序排列、无序组合)，分类分步明确 排列组合应用问题主要有三类：不带限制条件的排列或组合题；带限制条件的排列或

组合题；排列组合综合题；

解排列组合的应用题，通常有以下途径：

①以元素为主，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素——特殊元素法 ②以位置为主，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置——特殊位置法 ③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减不合要求的排列数或组合数——间接法 （4）对解组合问题，应注意以下三点：

①对“组合数”恰当的分类计算，是解组合题的常用方法。

②是用“直接法”还是“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”。 ③命题设计“分组方案”是解组合题的关键所在。

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（3）解排列、组合题的基本策略与方法：

①去杂法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这

是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。

②分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。

这是解排列组合问题的基本策略之。注意的是：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。

③分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步

计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。 ④插入法（插空法）：某些元素不能相邻采用插入法。即先安排好没有限制条件的元素，

然后再将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。

⑤“捆绑”法：要求某些元素相邻，把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列，即是“捆绑法”。

⑥穷举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一排列出来。 ⑦消序处理：对均匀分组问题在解决时，一定要区分开是“有序分组”还是“无序分组”，

若是“无序分组”，一定要清除同均匀分组无形中产生的有序因素。

三、二项式定理：

0n1n?1rn?rrnn(a?b)n?Cna?Cnab???Cnab???Cnb(n?N*)

（1）通项：Tr?1?Cnran?rbr(0?r?n)

（2）二项式系数的性质：

mn?m①二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即：Cn?Cn

②二项展开式中，中间的一项或两项的二项式系数相等并且最大，

n即当n为偶数时，第?1项的二项式系数最大，为Cn2；

2n?1n?1当n为奇数时，第项及?1项的二项式系数最大，为Cn2?Cn2；

2201nnn③二项展开式中所有项的二项式系数之和等于2，即Cn?Cn???Cn?2；

nn?1n?1④二项展开式中，奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等，即

024135Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn???2n?1；

123nn?1⑤Cn?2Cn?3Cn???nCn?n?2

pqr（3）、(a?b?c)展开式中abc的系数求法（p,q,r?0的整数且p?q?r?n）

rrqn?r?qqr(a?b?c)n?[(a?b)?c]n?Cn(a?b)n?rcr?CnCnbc ?ran名师总结 优秀知识点

325如：(a?b?c)展开式中含a3b2c5的系数为C10C7C5?1010!

3!?2!?5!（4）二项式定理的应用：

①求展开式中的指定的项或特定项：

如：①若(2x2?②求(|x|?1n )(n?N)，展开式中含有常数项，则n的最小值是 ；3x1?2)3的展开式中的常数项。 |x|注意：三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决。 ②求展开式中的某一项的系数：

10如：在(x?3)的展开式中，x6的系数是 ；

③求展开式中的系数和：

2n2n如：(1?x)?(1?x)???(1?x)?a0?a1x?a2x???anx的所有各项的系数

和是2n?1?2（赋值法：令x?1）；a0?a2?a4???f(1)?f(?1)；

2a1?a3?a5???f(1)?f(?1)2n；（令f(x)?a0?a1x?a2x???anx）

2④求二项式展开式的系数最大项的问题：

求(a?bx)展开式中系数最大的项，通常设展开式各项系数分别为A1,A2,?,An?1；

n?Ar?1?Ar设第r?1项系数最大，则?；然后求出不等式组的整数解。

A?Ar?2?r?1如：求(2?x)展开式中系数最大的项。 ⑤利用二项式定理证明整除问题及余数的求法：

如：求证：32n?2?8n?9能被64整除（n?N*）

⑥证明有关的不等式问题：

有些不等式，可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去(缩小)，或把某些负项删去(放大)，使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明。①(1?x)?1?nx；②(1?x)n?1?nx?如：求证：2?(1?n10n(n?1)2（x?0） x；

21n) n⑦进行近似计算：

求数的n次幂的近似值时，把底数化为最靠近它的那个整数加一个小数(或减一个小数)的形式。 当|x|充分小时，我们常用下列公式估计近似值：