考点卡片

1．数的整除特征 【知识点归纳】

整除是整数问题中一个重要的基本概念．如果整数a除以自然数b;商是整数且余数为0;我们就说a能被b整除;或b能整除a;或b整除a;记作b丨a．此时;b是a的一个因数（约数）;a是b的倍数 数的整除特征

（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数;那么它必能被2整除． （2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5;那么它必能被5整除． （3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除;那么它必能被3（或9）整除．

（4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除;那么它必能被4（或25）整除．

（5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除;那么它必能被8（或125）整除．

（6）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除;那么它必能被11整除．

【命题方向】 经典题型：

例1：下列4个数都是六位数;A是大于0小于10的自然数;B是0;一定能同时被2、3、5整除的数是（ ）

A、AAABAA B、ABABAB C、ABBABB D、ABBABA

分析：这个六数个位上的数字是0;能被2和5整除;不管A是比10小的哪个自然数;A+A+A的和一定是3的倍数;所以ABABAB一定能被3整除 解：B=0;

ABABAB能被2和5整除; A+A+A的和一定是3的倍数; ABABAB也一定能被3整除; 故选：B．

点评：此题主要考查能被2、3、5整除的数的特征：一个数个位上是0或5;这个数就能被5整除;个位是0、2、4、6、8的数能倍2整除;一个数各数位上的数字之和是3的倍数;这个数就能被3整除．

常考题型：

例2：有一个四位数3AA1能被9整除;A是 7 ．

分析：已知四位数3AA1能被9整除;那么它的数字和（3+A+A+1）一定是9的倍数然后再根据题意进一步解答即可．因为A是一个数字;只能是0、1、2、3、…、9中的某一个整数;最大值只能是9．若A=9;那么3+A+A+1=22;22＜27;所以3AA1的各位数字和只能是9的1倍或2倍;即9或18． 解：根据题意可得：

四位数3AA1;它能被9整除;那么它的数字和（3+A+A+1）一定是9的倍数;

因为A是一个数字;只能是0、1、2、3、…、9中的某一个整数;最大值只能是9;若A=9;那么3+A+A+1=3+9+9+1=22;22＜27;所以;3AA1的各位数字和只能是9的1倍或2倍;即9或18;

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当3+A+A+1=9时;A=2.5;不合题意; 当3+A+A+1=18时;A=7;符合题意; 所以;A代表7;这个四位数是3771． 答：A是7; 故答案为：7．

点评：本题主要考查能被9整除数的特征;即一个数能被9整除;那么这个数的数字和一定是9的倍数;然后在进一步解答即可．

2．平均数问题 【知识点归纳】

求平均数问题是小学学习阶段经常接触的一类典型应用题;如“求一个班级学生的平均年龄、平均身高、平均分数…”

平均数问题包括算术平均数、加权平均数、连续数和求平均数、调和平均数和基准数求平均数．

解答这类应用题时;主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系;根据总数除以它相对应的份数;求出一份数;即平均数．

【命题方向】 常考题型：

例1：在抗震救灾的日子里;解放军张叔叔前4天在一线共奋战了74小时;后3天平均每天在一线工作15小时;这一周;张叔叔平均每天在一线工作多少小时？

【分析】根据题意可以求出张叔叔在7天一共工作了几小时;用总的小时数除以总天数;就是要求的答案．

解：（74+15×3）÷（4+3）; =（74+45）÷7; =119÷7;

=17（小时）;

答：这一周;张叔叔平均每天在一线工作17小时．

【点评】此题是典型的解答平均数应用题;关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数．

例2：甲、乙、丙三种糖果每千克分别是14元、10元、8元．现把甲种糖果4千克;乙种糖果3千克;丙种糖果5千克混合在一起;问买2千克这种混合糖果需多少元？

【分析】用三种糖混合糖的总钱数除以总千克数就是三种糖混合后的平均价;再用平均价乘2千克就是要求的答案．

解：甲、乙、丙三种糖混合后的平均价是： （14×4+10×3+8×5）÷（4+3+5）; =126÷12; =10.5（元）;

买2千克混合糖果的价钱是： 10.5×2=21（元）;

答：买2千克这种混合糖果需21元．

【点评】解答此题的关键是根据平均数的意义;先求出甲、乙、丙三种糖混合后的平均价;那2千克混合糖的价钱即可求出．

3．逻辑推理 【知识点归纳】 基本方法简介：

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①条件分析﹣假设法：假设可能情况中的一种成立;然后按照这个假设去判断;如果有与题设条件矛盾的情况;说明该假设情况是不成立的;那么与他的相反情况是成立的．例如;假设a是偶数成立;在判断过程中出现了矛盾;那么a一定是奇数．

②条件分析﹣列表法：当题设条件比较多;需要多次假设才能完成时;就需要进行列表来辅助分析．列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中;表格的行、列分别表示不同的对象与情况;观察表格内的题设情况;运用逻辑规律进行判断．

③条件分析﹣﹣图表法：当两个对象之间只有两种关系时;就可用连线表示两个对象之间的关系;有连线则表示“是;有”等肯定的状态;没有连线则表示否定的状态．例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态;有连线表示认识;没有表示不认识．

④逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外;还要进行相应的计算;根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件．

⑤简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据;分析其中存在的规律和方法;并从特殊情况推广到一般情况;并递推出相关的关系式;从而得到问题的解决．

【命题方向】 经典题型：

例1：有A;B;C;D;E五名同学进行象棋比赛;规定每两个人之间要赛一场;到现在为止;A已经赛了4场;B已经赛了3场;C已经赛了2场;D已经赛了1场;那么E赛了（ ）场． A、1 B、2 C、3 D、4

【分析】5个人两两之间比赛;那么每个人要和另外4人比赛;每人赛4场;再根据ABCD四人赛的场次进行推算． 解：每人最多赛4场;

A已经赛了4场;说明它和另外的四人都赛了一场;包括D和E; E赛了1场;说明他只和A进行了比赛;没有和其它选手比赛;

B赛了3场;他没有和E比赛;是和另外另外的三人进行了比赛;包括C和E; C赛了2场;是和A、B进行的比赛;没有和E比赛; 所以E只和A、B进行了比赛;一共是2场． 故选：B．

【点评】本题根据每个人最多只能比赛4场作为突破口;进行逐个推理;找出E进行比赛的场次．

4．最佳方法问题 【知识点归纳】

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