24．（13分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l:y?点A和点B(0,?1)，抛物线y?3x?m与x轴、y轴分别交于412且与直线l的另一个交点为C(4,n)． x?bx?c经过点B，

2

（1）求n的值和抛物线的解析式；

（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t(0?t?4)．DE//y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2)．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；

（3）M是平面内一点，将?AOB绕点M沿逆时针方向旋转90?后，得到△AO11B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△AO11B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直

接写出点A1的横坐标． 【解答】解：（1）Q直线l:y??m??1，

?直线l的解析式为y?3x?m经过点B(0,?1)， 43x?1， 4Q直线l:y?3x?1经过点C(4,n)， 43?n??4?1?2，

4第25页（共30页）

Q抛物线y?12x?bx?c经过点C(4,2)和点B(0,?1)， 2?12??4?4b?c?2??2， ??c??15??b??解得?4，

??c??1?抛物线的解析式为y?125x?x?1； 24

3（2）令y?0，则x?1?0，

4解得x?4， 3?点A的坐标为(，0)，

43?OA?4， 3在Rt?OAB中，OB?1，

45?AB?OA2?OB2?()2?12?，

33QDE//y轴， ??ABO??DEF，

OB3在矩形DFEG中，EF?DEgcos?DEF?DEg?DE，

AB5OA4DF?DEgsin?DEF?DEg?DE，

AB54314?p?2(DF?EF)?2(?)DE?DE，

555Q点D的横坐标为t(0?t?4)，

153?D(t,t2?t?1)，E(t,t?1)，

2443151?DE?(t?1)?(t2?t?1)??t2?2t，

4242?p?141728?(?t2?2t)??t2?t， 52557287，且??0， Qp??(t?2)2?555?当t?2时，p有最大值

28； 5第26页（共30页）

（3）Q?AOB绕点M沿逆时针方向旋转90?， ?AO11//y轴时，B1O1//x轴，设点A1的横坐标为x，

①如图1，点O1、B1在抛物线上时，点O1的横坐标为x，点B1的横坐标为x?1，

?

12515x?x?1?(x?1)2?(x?1)?1， 24243， 4解得x?②如图2，点A1、B1在抛物线上时，点B1的横坐标为x?1，点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大

?

4， 3125154x?x?1?(x?1)2?(x?1)?1?， 242437， 1237或?． 412解得x??综上所述，点A1的横坐标为

25．（14分）如图①，在?ABC中，?BAC?90?，AB?AC，点E在AC上（且不与点A，，在?ABC的外部作?CED，使?CED?90?，DE?CE，连接AD，分别以AB，ADC重合）

为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．

（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系 AF?2AE ；

（2）将?CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段

AF，AE的数量关系，并证明你的结论；

（3）在图②的基础上，将?CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由．

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【解答】解：（1）如图①中，结论：AF?2AE．

理由：Q四边形ABFD是平行四边形，

?AB?DF，

QAB?AC， ?AC?DF， QDE?EC，

?AE?EF，

Q?DEC??AEF?90?，

??AEF是等腰直角三角形，

?AF?2AE．

故答案为AF?2AE．

（2）如图②中，结论：AF?2AE．

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