皮尔逊Ⅲ（P－Ⅲ）型曲线

1、皮尔逊Ⅲ型曲线的概率密度函数

皮尔逊Ⅲ型曲线是一条一端有限一端无限的不对称单峰、正偏曲线（见图4-4-3），数学上常称伽玛分布，其概率密度函数为:

式中：Γ（α）―α的伽玛函数；

（4-4-8）

α、β、a0―分别为皮尔逊Ⅲ型分布的形状尺度和位置未知参数， α﹥0， β﹥0 。

显然，三个参数确定以后，该密度函数随之可以确定。可以推论，这三个参数与总体三个参数Cv、CS具有如下关系：

、

（4-4-9）

2、皮尔逊Ⅲ型频率曲线及其绘制

水文计算中，一般需要求出指定频率P所相应的随机变量取值xp，也就是通过对密度曲线进行积分，即:

（4-4-10）

求出等于及大于xp的累积频率P值。直接由式（4-4-10）计算P值非常麻烦，实际做法是通过变量转换，变换成下面的积分形式 :

（4-4-11）

式（4-4-11）中被积函数只含有一个待定参数CS，其它两个参数 、Cv都包含在 中。 ，

x是标准化变量，称为离均系数。 的均值为0，标准差为1。因此，只需要假定 与

之间的关系。对于若干个给定的CS值，

一个CS值，便可从式（4-4-11）通过积分求出

的对应数值表，已先后由美国福斯特和前苏联雷布京制作出来，见附表1\皮尔逊Ⅲ型

频率曲线的离均系数

附表1 皮尔逊Ⅲ型频率曲线的离均系数

P（%）Cs 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.1 3.09 3.23 3.38 3.52 3.67 3.81 3.96 4.10 4.24 4.39 4.53 1 2.33 1.67 2.47 2.54 2.62 2.68 2.75 2.82 2.89 2.96 3.02 5 1.64 2.0 1.70 1.73 1.75 1.77 1.80 1.82 1.84 1.86 1.88 值表（摘录） 20 0.84 0.84 0.83 0.82 0.82 0.81 0.80 0.79 0.78 0.77 0.76 50 0.00 -0.02 -0.03 -0.05 -0.07 -0.08 -0.10 -0.12 -0.13 -0.15 -0.16 80 -0.84 -0.85 -0.85 -0.85 -0.85 -0.85 -0.85 -0.85 -0.85 -0.85 -0.85 95 -1.64 -1.62 -1.59 -1.55 -1.52 -1.40 -1.45 -1.42 -1.38 -1.35 -1.32 99 -2.33 -2.25 -2.18 -2.10 -2.03 -1.96 -1.88 -1.81 -1.74 -1.66 -1.59 99.9 -3.09 -2.95 -2.81 -2.67 -2.54 -2.40 -2.27 -2.14 -2.02 -1.90 -1.79 （4-4-12） 值表\。由

就可以求出相应频率

的x值：

3、皮尔逊Ⅲ型频率曲线的应用 在频率计算时，由已知的CS值，查

值表得出不同的P的

值，然后利用已知的 、

CV，通过式（4-4-12）即可求出与各种P相应的

值，从而可绘制出皮尔逊Ⅲ型频率曲线。

当CS等于CV的一定倍数时,P-Ⅲ型频率曲线的模比系数KP = ,也已制成表格,见附表2\皮

尔逊Ⅲ型频率曲线的模比系数KP值表\。频率计算时，由已知的CS和CV可以从附表2中查出与各种频率P相对应的KP值，然后即可算出与各种频率对应的对应值，即可绘制出皮尔逊Ⅲ型频率曲线。

附表2 皮尔逊Ⅲ型频率曲线的模比系数KP值表 （摘录，CS = 2CV）

P（%）Cs 0.1 0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.16 1.34 1.73 2.19 2.70 3.27 3.89 4.56 5.30 6.08 1 1.12 1.25 1.52 1.83 2.15 2.51 2.89 3.29 3.71 4.15 4.61 5 1.08 1.17 1.35 1.54 1.74 1.94 2.15 2.36 2.57 2.78 3.00 20 1.04 1.08 1.16 1.24 1.31 1.38 1.44 1.50 1.54 1.58 1.61 50 1.00 1.00 0.99 0.97 0.95 0.92 0.89 0.85 0.80 0.75 0.69 75 0.97 0.93 0.86 0.78 0.71 0.64 0.56 0.49 0.42 0.35 0.29 90 0.94 0.87 0.75 0.64 0.53 0.44 0.35 0.27 0.21 0.15 0.11 95 0.92 0.84 0.70 0.56 0.45 0.34 0.26 0.18 0.12 0.08 0.05 99 0.89 0.78 0.59 0.44 0.30 0.21 0.13 0.08 0.04 0.02 0.01 =KP 。有了P和

的一些

1.00 6.91

4.4.5 频率与重现期的关系

频率曲线绘制后，就可在频率曲线上求出指定频率p的设计值xp。由于\频率\较为抽象，水文上常用\重现期\来代替\频率\。所谓重现期是指某随机变量的取值在长时期内平均多少年出现一次，又称多少年一遇。根据研究问题的性质不同，频率P与重现期T的关系有两种表示方法。

1、当为了防洪研究暴雨洪水问题时，一般设计频率P＜50％，则:

（4-4-14）

式中：T――重现期，年；

――频率，％。

（2）当考虑水库兴利调节研究枯水问题时，设计频率P＞50％，则

（4-4-15）