【解析】（1）在半圆中，DM⊥MC，
?所在平面垂直， ∵正方形ABCD所在的平面与半圆弧????∴AD⊥平面DCM，则AD⊥MC， ∵AD∩DM＝D， ∴MC⊥平面ADM， ∵MC?平面MBC， ∴平面AMD⊥平面BMC． （2）∵△ABC的面积为定值，
∴要使三棱锥M﹣ABC体积最大，则三棱锥的高最大， 此时M为圆弧的中点，
建立以O为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图 ∵正方形ABCD的边长为2，
∴A（2，﹣1，0），B（2，1，0），M（0，0，1）， 则平面MCD的法向量??=（1，0，0）， 设平面MAB的法向量为??=（x，y，z） 则????=（0，2，0），????=（﹣2，1，1）， 由???????=2y＝0，???????=?2x+y+z＝0， 令x＝1，
则y＝0，z＝2，即??=（1，0，2），
?????11则cos＜??，??＞=→→==，
|??||??|1×√1+4√5→
→
→
→
→
→
→
→
→→→
→→
则面MAB与面MCD所成二面角的正弦值sinα=√1?(122√5)=5． √5
5．（2017?新课标Ⅲ）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．
【解析】（1）如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD． ∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC．
△ABD与△CBD中，AB＝BD＝BC，∠ABD＝∠CBD， ∴△ABD≌△CBD，∴AD＝CD． ∵△ACD是直角三角形， ∴AC是斜边，∴∠ADC＝90°． ∴DO=2AC．
∴DO2+BO2＝AB2＝BD2． ∴∠BOD＝90°． ∴OB⊥OD．
又DO∩AC＝O，∴OB⊥平面ACD． 又OB?平面ABC，
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∴平面ACD⊥平面ABC．
（2）解：设点D，B到平面ACE的距离分别为hD，hE．则∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，
1????3△????????∴1????3△????????
??????
=
????????
．
=
??????
=
????????
=1．
∴点E是BD的中点．
建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB＝2．
则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，√3，0），E(0，2，2)．
→1????=（﹣1，0，1），????=(?1，，)，????=（﹣2，0，0）．
22√3→
→
√31
???+??=0→???????=0√3设平面ADE的法向量为??=（x，y，z），则{→→，即{，取??=(3，√3，3)． 1
???+2??+2??=0???????=0
→
→
→
同理可得：平面ACE的法向量为??=（0，1，?√3）．
√7??????2√3∴cos＜??，??＞=→→==?．7|??||??|√21×2→
→
→
→→
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√7∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为．
7
6．（2019?天津）如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2． （1）求证：BF∥平面ADE；
（2）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；
（3）若二面角E﹣BD﹣F的余弦值为，求线段CF的长．
31
【解析】（1）以A为坐标原点，分别以????，????，????所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，1，0），E（0，0，2）． 设CF＝h（h＞0），则F（1，2，h）．
则????=(1，0，0)是平面ADE的法向量，又????=(0，2，?)，可得?????????=0． 又∵直线BF?平面ADE，∴BF∥平面ADE；
（2）依题意，????=(?1，1，0)，????=(?1，0，2)，????=(?1，?2，2)． 设??=(??，??，??)为平面BDE的法向量，
→→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
则{→→，令z＝1，得??=(2，2，1)． ???????=???+2??=0∴cos＜????，??＞=
→
→
???????=???+??=0
→
→
|????|?|??|
→???????
→→
→=?．
49
49∴直线CE与平面BDE所成角的正弦值为； （3）设??=(??，??，??)为平面BDF的法向量，
→???????=???+??=02
则{→→，取y＝1，可得??=(1，1，?)，
????????=2??+???=0
→
→→
→→
|4?2||?????|18?由题意，|cos＜??，??＞|=→→==3，解得h=7．
|??|?|??|3×2+4√2→
→
?
经检验，符合题意． ∴线段CF的长为．
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