小船过河问题导学案

问题本质

小船渡河是典型的运动的合成问题。需要理解运动的独立性原理，掌握合速度与分速度之间的关系。小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动v水（水冲船的运动），和船相对水的运动v船（即在静水中的船的运动），船的实际运动v是合运动。

基本模型 1、v水

时间最少

v船 v2 θ v1 V水

在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间t?即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小为

d?1?d ，显然，当??90?时，

?船sin?d，合运动沿v的方向进行。 v船位移最小

v船 θ v v水 结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为cos??

?水 ?船 1

2、v水>v船

时间最少

同前

位移最小

不论船的航向如何，总是被水冲向下游，即无论向哪个方向划船都不能使船头垂直于河，只能尽量使船头不那么斜。那么怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示，

B v A α E v船 θ v水 设船头v船与河岸成θ角。合速度v与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v水的矢尖为圆心，v船为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大，根据cos??v船v水船头与河岸的夹角应为

??arccosv船v水，船沿河漂下的最短距离为：

xmin?(v水?v船cos?)?d

v船sin?dv水d此时渡河的最短位移：s? ?cos?v船典型例题

★某人以不变的速度垂直对岸游去，游到中间，水流速度加大，则此人渡河时间比预定时间

A．增加 B．减少 C．不变 D．无法确定 答案：C

★某人以一定速度始终垂直河岸向对岸游去，当河水匀速流动时，他所游过的路程，过河所用的时间与水速的关系是( )

A．水速大时，路程长，时间长 B．水速大时，路程长，时间短 C．水速大时，路程长，时间不变 D．路程、时间与水速无关

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答案: C

★如图所示，A、B为两游泳运动员隔着水流湍急的河流站在两岸边，A在较下游的位置，且A的游泳成绩比B好，现让两人同时下水游泳，要求两人尽快在河中相遇，试问应采用下列哪种方法才能实现？（ ）

A. A、B均向对方游（即沿虚线方向）而不考虑水流作用 B. B沿虚线向A游且A沿虚线偏向上游方向游 C. A沿虚线向B游且B沿虚线偏向上游方向游

D. 都应沿虚线偏向下游方向，且B比A更偏向下游 答案：A

★★一条自西向东的河流，南北两岸分别有两个码头A、B，如图所示．已知河宽为80 m，河水流速为5 m/s，两个码头A、B沿水流的方向相距100 m．现有一只船，它在静水中的行驶速度为4 m/s，若使用这只船渡河，且沿直线运动，则( )

A．它可以正常来往于A、B两个码头 B．它只能从A驶向B，无法返回 C．它只能从B驶向A，无法返回 D．无法判断 答案：B

★在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为( ) A．答案：C

★某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了T1；若此船用最短的位移过河，则需时间为T2，若船速大于水速，则船速v1与水速v2之比为（ ） (A)

d?2???2221 B．0 C．

d?1?2 D．

d?2?1

T2T22?T12T1T12?T22 (B)

T2 T1T1 T2(C) (D)

答案：A

★小船在s=200 m宽的河中横渡,水流速度是2 m/s,船在静水中的航行速度为4 m/s.求: （1）小船渡河的最短时间.

（2）要使小船航程最短,应该如何航行? 答案 （1）50 s2）船速与上游河岸成60°

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★★一条河宽100米，船在静水中的速度为4m/s，水流速度是5m/s，则（ ）

A．该船可能垂直河岸横渡到对岸

B．当船头垂直河岸横渡时，过河所用的时间最短

C．当船头垂直河岸横渡时，船的位移最小，是100米 D．当船横渡时到对岸时，船对岸的最小位移是100米 答案： B

★★河宽d＝60m，水流速度v1＝6m／s，小船在静水中的速度v2=3m／s，问： (1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少? (2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少?

答案：（1）20s （2）小船的船头与上游河岸成600角时，最短航程为120m

★★小河宽为d，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，

v水?kx，k?4v0，x是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为v0，d则下列说法中正确的是（ ） A、小船渡河的轨迹为曲线 B、小船到达离河岸

d处，船渡河的速度为2v0 2C、小船渡河时的轨迹为直线

D、小船到达离河岸3d/4处，船的渡河速度为10v0 答案：A

★如图所示，小船从A码头出发，沿垂直河岸的方向划船，若已知河宽为d，划船的速度v船恒定. 河水的流速与到河岸的最短距离x成正比，即）其中k为常量。要使小船能够到达距A码头正对岸为已知距离s的B码头，则下列说法正确的是

A．由于河中各处水速不同，因此不能求出渡河的时间 B．由于河中各处水速不同，因此不能求出划船的速度v船 C．由于河中各处水速不同，因此小船不能到达B码头 D．由于河中各处水速不同，因此小船渡河时应做曲线运动

答案 D

★★小船从A码头出发，沿垂直于河岸的方向渡河，若河宽为d，渡河速度v船恒定，河水的流速与到河岸的距离成正比，即v水=kx （x≤d/2，k为常量），要使小船能够到达距A正对岸为s的B码头，则 A．v船应为kd2/4s B.v船应为kd2/2s C．渡河时间为4s/kd D.渡河时间为2s/kd 答案：AC

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