（2）①由题知持“同意”态度的学生的频率为，

即从学生中任意抽取到一名持“同意”态度的学生的概率为.由于总体容量很大， 故X服从二项分布， 即X

X的数学期望为

0 1 2 从而X的分布列为 3 4 【点睛】本题主要考查了相关性检验、二项分布，属于中档题. 19.如图，在正三棱柱（1）证明：（2）点在

平面上，若

；

，求二面角

的余弦值.

中，

，，分别是

，

的中点.

【答案】（1）见解析；（2）【解析】 【分析】 （1）连结

，

，则

，，从而平面平面，由此能证明平面.

（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值.

【详解】证明：（1）如图，连结

，

，

，

，则

，

，

∴平面EFN//平面B1BCC1，

平面，平面为轴，

. 为轴，

为轴，

解：（2）以为原点，建立空间直角坐标系， 不妨设设

，则，则

， ，

设平面

的法向量为

，，

，

，

，，

，解得，

，，

则，取，得，

同理可得平面

二面角

的法向量为

的余弦值为

.

， .

【点睛】该题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.

20.椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，过的长轴，短轴端点的一条直线方程是（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点

作直线交椭圆于，两点，若点关于轴的对称点为，证明直线

过定点.

.

【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）对于（2）设直线

；（2）见解析

，当，（

时，，即，当，

，

，即，再写出椭圆的方程； ，则

，代入椭圆

），设，两点的坐标分别为

过定点时，

， ，即

方程，即根据韦达定理，直线方程，求出直线【详解】解：（1）对于椭圆的方程为（2）证明：设直线设，两点的坐标分别为联立直线得

与椭圆得

， ，解得

，，

直线

， ，

，

，（，，

）， ，则，当

，当，，即，

，

令，得 ，

直线过定点

【点睛】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题. 21.已知函数（1）若曲线

在点

.

处的切线与直线

平行，求的值；

（2）是否存在使得【答案】（1）【解析】

仅有一个极值点？若存在求出的取值范围，若不存在，请说明理由.

；（2）

【分析】

（1）先求导，根据导数的几何意义即可求出的值，

（2）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的极值的关系即可求出. 【详解】解：（1）

，

曲线

在点

，

解得（2）

，且

当当当故函数当当当当当当

，时，时，

，，函数，

在当当当

，，

为

一个极值点， 时，

，，函数单调递减，

无极值，

，

，时，

，，函数，

单调递增，又，函数

.

，

，

， ，

处的切线与直线

平行， ，

单调递减，

单调递增，

，

，（

， ， ，

， 单调递减，

）

仅有一个极小值点，设

时，

，则，此时，此时，此时

，函数

单调递减，

存在唯一的实数根，且，函数

单调递减，

单调递减，