习题六

一、填空题

1、连接M0(0,01),M1(?1,?1,0)的曲线为x??t,y??t2,z??t?1，由M1指向M2的单位切向量为___，其方向余弦为________。

2、球面x2?y2?z2?R2向外的一个法向量为_________，方向余弦为__________。

3、xoy平面上的曲线F(x,y)=0的一个法向量为_________，曲线x2?y2?1的指向外侧的单位法向量为_________。

4、椭球面2x?y?z?1在(,222111,)处的切平面为_________.切平面与xoy面的夹角的余222弦为_______法线为__________________。

5、F的偏导数不全为0，曲面F(x-z,y-z)=0的一个法向量为__________。

二、求曲线?:??x?y?z?011P(,?,0)处的切线及法平面。 在点022222?x?y?z?1

23三、在曲线?:x?t,y?t,z?t上求出一点，使该点的切线平行于平面?:x?2y?z?4

17

四、在曲面S: z=xy上求一点，使此点处的法线与平面x+3y+z+9=0垂直并写出此法线的方程。

五、M(1,-1,2)为曲面z2?f(x,y) 上的一点 ，fx?(1,?1)?2,fy?(1,?1)??2，求曲面在点M

处的切平面。

六、证明以下各题

1、 曲面xyz?a 上任一点的切平面与三个坐标轴围成的四面体的体积为定值。

2、 曲面F(y?mz,x?nz)?0 （m,n为常数）上任一点的切平面与一定直线平行。

18

3习题七

??f一、l?(l1,l2)?0，选出以下计算? 的正确的计算公式。

?l??f?f?f (A)??cos??cos?，其中?,?为l的方向角；

?x?y?l??f?f?f(B)??cos??sin?，其中?为l与x轴正向的夹角；

?x?y?l??fl (C)??grad.?f;?ll?f??f?f?(D)???,???l1,l2?。

?l??x?y?二、求z?x2?y2在点（1，2）处沿从点（1，2）到(2,2?3)的方向导数。

x2y2abx2y2三、求z?1?(2?2)在点M0(,)处沿曲线2?2?1的内法线方向的方向导数

abab22

19

四、设u=x+xy+xyz,求u在点（1，2，-1）处的梯度，并求沿梯度方向的方向导数。

?????????z五、(l,i)?,(l,j)?,且z=z(x,y)由方程z+sinz +x+y=0确定，求?。

36?l

六、f(x,y)在(x0,y0)可微，且沿x轴正向到射线l的转角?1?分别为1，0，求f(x,y)在此点的最快增长方向及最大增长率。

七、u,v均为（x,y）的二元函数，证明梯度的运算规律。

?6,?2??3方向的方向导数

(1)grad(uv)?ugradv?vgradu.

(2)gradf(u)?f?(u)gradu

20