第四章 函数一致连续的应用
(3)(对数函数)f(x)?lnx在(01) ,上非一致连续,在[1,+?)上一致连续。
例15: f(x)?lnx在(01) ,上非一致连续,在[1,+?)上一致连续。11证明:考虑xn?,xn'?,则当0??0?ln2时,不论?如何选取,只要n充分大,
n2n我们总可以使|xn?xn'|?1??,但是|f(xn)?f(xn')|?ln2??,因而f(x)在2n区间(0,1)非一致收敛。
但在区间[1,+?)上,f(x)?lnx在点1处最陡,且
?f(?)?1?1?0(??0?). 1??可见,f(x)?lnx在[1,+?)上一致连续.
(4)(三角函数)y?sinx和y?cosx均在R上一致连续,y?tanx和y?cotx均在其定义
域上非一致连续。
例16: 证明函数f(x)?cosx在?0,???上一致连续。
证明:由于对???0,?L?2,使得?x?,x????0,???,都有
cosx??cosx???x??x???2x??x??,
即f(x)?cosx在?0,???上满足Lipschitz条件。
所以函数f(x)?cosx在?0,???上一致连续。
例17:证明y?sinx在R的一致连续
x1?x2??时 证明:???0,?x1,x2?R,要使得:f?x1??f?x2??sinx1?sinx2?2cosx1?x2x?x2sin1 22?2sinx1?x2?x1?x2??成立,只需???即可 217
广东石油化工学院本科毕业论文:函数一致连续的判别方法及其应用 (5)(反三角函数)y?arcsinx和y?arccosx均在[?1,1]上一致连续,y?arctanx和
y?arccotx均在(??,??)上一致连续。例18:证明f(x)?arctanx(???x???)一致连续。
证明:由于f(x)在区间(??,1],[0,??)上连续,且有
limarctanx??2x???,limarctanx??x????2,
由已知f(x)在(??,1]及[0,??)上均一致连续。于是,对于任给??0,存在
?1(?)?0,当x1,x2?(??,1],|x1?x2|??1(?)时,恒有|f(x1)?f(x2)|??成立。 又存在?2(?)?0,当x1,x2?[0,??),|x1?x2|??2(?)时,恒有|f(x1)?f(x2)|??成立。
今取?(?)?min{1,?1(?),?2(?)},则当x1,x2?(??,??),|x1?x2|??(?)时,x1与x2必或同时属于(??,1],或同时属于[0,??),故恒有|f(x1)?f(x2)|??,即f(x)在
(??,??)上一致连续。
p(x)?0xn??1xn?1????n?,其中n,m为非负整数,(5)(有理函数)R(x)? q(x)?0xm??1xm?1????nR(x)在[a,+?) ?0,?1??n,?0,?1??n均为常数,且?0?0,?0?0。当n?m?1时,
上一致连续;当n?m?1时,R(x)在[a,+?)上非一致连续。(其中
??max{x,q(x)?0})。
4.2应用之三:反函数的一致连续性的应用
由于反函数仍然是一个函数,只是其函数图像与原函数图像关于直线y=x对称。所以我们仍然可以采取前面讨论一致连续的条件的方法。 (1) 有限区间上的一致连续函数的反函数必一致连续。 (a) 闭区间?a,b?上的一致连续函数的反函数仍然一致连续。
证明:因为f?x?在区间?a,b?一致连续,不妨设f?a??f?b?,由于具有反函数的函数必
然单调?f?1?x?在区间?f?a?,f?b??连续。
有定理1可得:f?1?x?在区间?f?a?,f?b??一致连续。
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第四章 函数一致连续的应用
(b)开区间?a,b?上的一致连续函数的反函数一致连续。 证明: ?f?x?在区间?a,b?一致连续,
?limf?x?与limf?x?存在,不妨分别设为A与B。
x?a?0x?b?0?存在反函数的函数必然单调,所以不妨设A?B。
?fy?A?1?y?在开区间?A,B?有定义,且
?1limf?y??a,limf?1?y??b
y?B由定理2可得:f?1?y?在开区间?A,B?一致连。 综合以上两个结论可得
结论1:有限区间上的一致连续函数的反函数必一致连续。
(2) 函数f?x?在区间?a,???上一致连续,如果limf?x?存在,则函数f?x?的反函数
x???不一致连续。
(3) 若无穷区间?a,???上的一致连续函数的导函数在无穷远点的极限limf??x??0
x??则其反函数在无穷区间?a,???上不一致连续。若limf??x??0则其反函数在无穷
x??区间?a,???上一致连续。
例19:证明:若函数f(x)在域a?x???上有定义并且是连续的,而且limf(x)存在,
x???则f(x) 在此域上是一致连续的。
证明:任给??0,由于limf(x)存在,故必存在X?a,使当x'?X,x\?X时,
x???恒有|f(x')?f(x\)|??,由于f(x)在[a,X?1}连续,故一致连续,从而必有正数?'存在,使当x'?[a,X?1},x\?[a,X?1},|x'?x\|??'时,恒有
|f(x')?f(x\)|??,
令??min{?',1}。现设x',x\为满足a?x'???,a?x\???,|x'?x\|??的任何两点。由于|x'?x\|??故x'与x\或同时属于[a,X?1},或同时满足x'?X,
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广东石油化工学院本科毕业论文:函数一致连续的判别方法及其应用 x\?X。因此,恒有|f(x')?f(x\)|??,故f(x)在a?x???上一致连续。
(4)无穷区间上的一致连续函数的反函数的一致连续性。
由于无穷区间有如下五中情况:???,???,???,a?,???,a?,?b,???,?b,??? 因此我们主要讨论最有代表性的区间?a,???(a?0)上的情况,其余四种情况可以类似得出相应结论。
由前面一致连续的条件的讨论可知区间?a,???上的一致连续函数可以分为两类。 第一类: limf?x?与limf?x?都存在,不妨设limf?x?=A, limf?x?=B。
x?a?0x???x?a?0x????存在反函数的函数必然单调,所以不妨设A?B。
?fy?A?1?y?在开区间?A,B?有定义,且
?1limf?y??a,limf?1?y???
y?B所以有
结论2:函数f?x?在区间?a,???上一致连续,如果limf?x?存在,则函数f?x?的反函数
x???不一致连续。
为帮助理解上面的结论,举例如下:
例20:f?x??arctanx在?0,???一致连续,且limf?x??x????2所以其反函数f(x)?tanx在
????0,? 不一致连续。 ?2?第二类:limf?x?存在而limf?x?不存在时,limf?x?不存在有两种情形,一种是x趋
x?a?0x???x???向于无穷时,函数f?x?的图像上下波动,函数的变化趋势不确定而造成无极限。由于具有反函数的函数必然单调,所以此种情况可排除,仅讨论第二种情况即
limf?x???
x??此时函数f?x?满足limf??x?存在(由结论1可得),即f??x?有界。
x??根据法则:反函数的导数等于原函数导数的倒数。
?当limf??x??0时,可设limf?x??c?c为常数?所以limf?1?y???因此有如下
x??x??y?c??结论:
结论3:若无穷区间?a,???上的一致连续函数的导函数在无穷远点的极限limf??x??0
x??20