第二章 一致连续的充要条件

证明：? 必要性易证，下证充分性。

? 因为f(x)在???,???上连续，所以f(x)在?0,2T?上也连续，从而一致连

续。

因此，对???0,???0???T?，使得对?x?,x????0,2T?，且x??x????，有 f(x?)?f(x??)??。

?x1,x2????,???，且x1?x2??，不妨假设x1?x2且x1???nT,?n?1?T?，即

x1?nT??,0???T。

(1)若x2???nT,?n?1?T?，则x2?nT??,0???T， 此时 x1?x2??????，

fx2)?f(?)?f(?)??。 故 f(x1)?（(2) 若x2???nT,?n?2?T?，则x2??n?1?T???,0????T， 此时 x1?x2????T??????

fx2)?f(?)?f(T???)??。 且?,T?????0,2T?，故f(x1)?（综上所述，函数f(x)在???,???上一致连续。

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广东石油化工学院本科毕业论文：函数一致连续的判别方法及其应用 第三章一致连续的充分条件

定理1：若函数f?x?在R上连续且f'(x)在R上有界，则函数f?x?在区间R上一致连续。

证明：只要能找到?满足???0,?x1,x2?R:x1?x2??时，有f?x1??f?x2???即可

由于函数f?x?在R连续且可导，所以f?x?在?x1,x2?连续而且在?x1,x2?可导,满足拉格朗日定理的条件。所以?c??x1,x2?使得f??c???M?0使得?x?R有f??x??M?f?x2??f?x1?又因为函数f??x?有界,所以

x2?x1f?x2??f?x1??M?f?x2??f?x1??Mx1?x2要满x2?x1足f?x1??f?x2???只需取???M即可

同理有如下结论：

定理2：若函数f?x?在任意区间I上连续，且f'(x)在区间I上有界，则函数f?x?在区间I上一致连续。

定理3：设函数f(x)在区间[a,??)上局部可积，且f(x)在区间 [a,??)上有界,则

xF(x)??af(s)ds在[a,??)上一致连续。

定理4：若f(x)在区间I上存在有界导函数,即?M?0,?x?I,有|f'(x)|?M，则f(x)在

I上一致连续。

下面还有一个应用得更加广泛的结论:

若f(x)在[a,??)上连续,在[a,??)内处处可导,且limf'(x)?A存在，则f(x)在

x???[a,??)上一致连续。

例6：f(x)?x2?2在(??,??)上一致连续.

证明：由于f'(x)?

例7：f?x?=㏑x(0＜x＜1)

xx2?2,|f'(x)|?1，故f(x)?x2?2在(??,??)上一致连续.

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第三章 一致连续的充分条件

证明：考虑xn?11'，xn? ，则当0＜?0＜㏑2时，不论?如何选择，只要n充分n2n'大，我们总可以使|xn?xn|=

1'＜?，但是，|f?xn??fxn|=㏑2＞?. 2n??因而f?x?在区间（0，1）内并非一致连续。

定理5：设f(x)在[a,??)上连续,且有斜渐近线y?kx?b（即lim[f(x)?(kx?b)]?0)则

x???f(x)在[a,??)上一致连续。（k,b为常数）

证明：因为f(x)?(kx?b)在[a,??)上连续，且lim[f(x)?(kx?b)]?0，所以f(x)?(kx?b)x???在[a,??)上一致连续，又kx?b在[a,??)上一致连续，从而f(x)在[a,??)上一致连续。

x2例8：讨论函数f(x)?于（1，+?）上的一致连续性。

1?xx2 解：显然f(x)?在（1，+?）上连续，又f(x)在（1，+?）上，当x???时

1?xx2有渐近线y?x?1，所以f(x)?在（1，+?）上一致连续。

1?x上述结论可进一步推广为[4]:

（2）设f(x)在[a,??)上连续,g(x)在[a,??)上一致连续,即x???时,且

x???limf(x)?g(x)]?A，则f(x)在[a,??)上一致连续。

例9：求证：函数f(x)?x在[0,??)上一致连续。

证明：对于??0，任给x',x\?[1,??),当|x'?x\|??时， f(x)?f(x)?|x?x?|'\'\x'?x\x?x'\|??x?x'\??，

所以?(?,x0)?,x0?[1,??)，从而?(?,)??0,，于是，y?f(x)在[1,??)上

22一致连续。而在[0,1]上，f(x)一致连续，所以y?f(x)在[0,??)上一致连续。

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??广东石油化工学院本科毕业论文：函数一致连续的判别方法及其应用 1例10：f(x)?xln(e?)在[1,??)上一致连续.

x1xln(e?)x?1,b?lim[xln(e?1)?x]?1，故f(x)?xln(e?1)在 证明：由于k?limx??x??xxxe1该区间有渐近线y?x?，所以 f(x)在[1,??)上一致连续.

e

定理6：若f(x)??(x),x?(a,b]a为??x?的瑕点，且???x?dx收敛，则f?x?在?a,b?上一

'ba致连续。

推论1：若f(x)??(x)，g?x?＞0,|??x?|?g?x?，x??a,b?,a为它们的瑕点，且?g?x?dx'ba收敛，则f?x?在?a,b?上一致连续。

推论2：若f'(x)??(x)，g?x?＞0，x??a,b?,a为它们的瑕点，且?g?x?dx收敛，

abx?alim???x?g?x??c(0?c＜∞),则f?x?在?a,b?上一致连续。

1（0＜p＜1),则f?x?在

(x?a)p推论3：若f'(x)??(x),x?(a,b] a为其瑕点，且|f?x?|??a,b?上一致连续。

推论4：若f'(x)??(x),x?(a,b] a为其瑕点，且lim?(x?a)p|??x?|??,则当0＜p＜1，

x?x0??＜+∞时，f?x?在?a,b?上一致连续。

定理7：f?x????x?g?x?，x??a,b?，且???x?dx收敛，函数g?x?在?a,b?a为??x?的瑕点，

,ab上单调,则f?x?在?a,b?上一致连续。

定理7：f?x????x?g?x?，x??a,b?，a为??x?的瑕点，且F（A）=???x?dx在?a,b?上

,aA有界，g?x?在?a,b?上单调且当x?a?时趋于0，则f?x?在?a,b?上一致连续。 定义1(凸函数) ：设函数f?x?在区间I上有定义,若?x,y?I,0???1,有

f[?x?(1??)y]??f(x)?(1??)f(y) (或f[?x?(1??)y]??f(x)?(1??)f(y)),

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