第二章 一致连续的充要条件

引理2：如果存在正数A与B使得f?x??Ax?B ，x??0,???成立，则limf??x?存在。

x??证明：（反证法）假设limf??x?不存在即limf??x???（关于limf??x???且极限

x??x??x??不存在的其他情况因能力有限暂时不与考虑）

当limf??x????时，设??x??f?x???Ax?B? 则???x??f??x??A由于

x??limf??x????所以存在点x0使得?x?x0时???x??0所以??x?在?x0,???单调递增，因此

x??存在x1??x0,???使得对任意的点x??x1,???有??x??0，即f?x??Ax?B ，矛盾。 所以结论成立。

同理可知limf??x????时结论成立。 本题得证

x??定理5：若f(x)在区间I上满足利普希茨条件，即存在L?0，使得对I上任意两点x',x\,都有|f(x')?f(x\)|?L|x'?x\|,则f(x)在区间I上连续。 此定理由定义易证，并由此可得

推论：若f'(x)在区间I上有界，则f(x)在I上一致连续。

证明：设存在L?0，使得对一切x?I，都有|f(x')|?L，则对I上任意两点x'，x\，由微分中值定理f(x')?f(x\)?f'(x'?x\)，其中?在x'与x\之间，从而??I，|f(x')?f(x\)|?|f'(?)|x'?x\|?L|x'?x\|，f(x)在I上满足利普希茨条件，f(x)在I上一致连续。

定理6：设f(x)定义在[a,c]上，若f(x)在[a,b]和[b,c]上都连续，则f(x)在[a,c]上一致连续。

上述结论可进一步推广为：

设区间I1的右端点为c?I1,区间I2的左端点也为 c?I2(I1,I2可为有限或无限区间).若f(x)在I1和I2上都一致连续,则f(x)在I?I1?I2上一致连续。

例1：求证：若函数y=f(x)在[a,c]和 [c,b]上都一致连续，则f(x)在[a,b]上一致连续。

证明：因为函数f(x)在[a,c]上一致连续，所以在[a,c]上，?(?)???0;

同理，在[c,b]上有?(?)???0，而?(?,c)???0 .所以，在[a,b]上，

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广东石油化工学院本科毕业论文：函数一致连续的判别方法及其应用 ?(?)≥min{?,?,?}?0.所以，函数y=f(x)在[a,b]上一致连续。

例2：讨论f(x)?x在[0,??)上的一致连续性.

证明：f(x)在[0,??)上连续，设a?0，

当0?x?a时，设0?x1?a,0?x2?a,|x1?x2|??， 则

x1?x2?x1?x2??, 0??f(?)?supx1,x2?[0,a]x1?x2??f(x1)?f(x2)??

且lim???0，所以f(x)?x在[0,a]上一致连续。

??0当x?a时，

x1?x2?x1?x2x1?x2?,lim??02a??0?2a.

?所以f(x)?x在[a,??)上一致连续。 综上所述，f(x)?x在[0,??)上一致连续。

定理7：函数f(x)在(a,b)上一致连续充要条件：若f(x)在有限开区间(a,b)上连续，且

f(a?0)与f(b?0)都存在且有限。

推论1：函数f(x)在(a,b]（或[a,b)）上一致连续的充要条件：若f(x)在区间(a,b]（或

[a,b)）上连续，且f(a?0)（或f(b?0)）存在且有限。

推论2：:若f(x)在[a,??) (或(??,b])上连续，且limf(x) (或limf(x))极限存在，

x???x???则f(x)在[a,??) (或(??,b])上一致连续。

证明：设limf(x)?A，则由柯西准则，任给??0，存在M?a，使得当x',x\?Mx???时，|f(x')?f(x\)|?? ①

又因为f(x)在闭区间[a,M?1]上连续，所以f(x)在[a,M?1]上一致连续，从而对上述

??0，存在正数??1，使得x',x\?[a,M?1]且|x'?x\|??时，

|f(x')?f(x\)|?? ②

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第二章 一致连续的充要条件

于是当x',x\?[a,??)且|x'?x\|??时，x',x\必同属于[a,M?1]或必同属于(M,??)，由①②式必有|f(x')?f(x\)|??，由定义f(x)在[a,??)上一致连续。

推论3：若f(x)在(a,??) (或(??,b))上连续，且limf(x)及lim?f(x) (或limf(x)及

x???x?ax???x?b?limf(x))极限存在，则f(x)在(a,??) (或(??,b))上一致连续。

x???x???推论4：若f(x)在(??,??)上连续，且limf(x)?A及limf(x)?B极限存在，则f(x)在

(??,??)上一致连续。

证明：由a和b可得，f(x)在(??,1)和[0,??)上都一致连续，从而任给??0，分别存在?1?0，?2?0，使得x',x\?(??,1]且|x'?x\|??1时，f(x')?f(x\)|??①

x',x\?[0,??)且|x'?x\|??2时，|f(x')?f(x\)|??。②

现取??min{?1,?2,1}，则x',x\?(??,??)且|x'?x\|??时，x',x\必同属于(??,1]或同属于[0,??)，由①②式必有|f(x')?f(x\)|??，由此证得f(x)在(??,??)上一致连续。

例3：无界函数f(x)= x?sinx于-∞＜x＜+∞上一致连续。

证明：|f?x'?-f?x\?|=|（x'-x\）+（sinx'-sinx\）|≤|x'-x\|+| sinx'-sinx\|≤

2|x'-x\|。

对于任给的?＞0，取?=

?＞0，则当-∞＜x'＜+∞，-∞＜x\＜+∞，|x'-x\|＜? 2时，恒有|f?x'?-f?x\?|＜?，故f(x)在-∞＜x＜+∞上一致连续。

1例4： f(x)=xsin(),x∈〔1，+∞）

x证明：∵limf(x)=1 ，由无穷区间上一致连续定理得f(x)在x?〔1，+∞）上一致

x???连续。

例5：证明f(x)?cosx在[0,+∞）上一致连续。

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广东石油化工学院本科毕业论文：函数一致连续的判别方法及其应用 证明：设x1,x2?[0,+∞），不妨设x1＞x2，则有

|f(x1)?f(x2)|?|cosx1?cosx2|?2|sinx1?x22|?x1?x2?|x1?x2|x1?x2?x1?x22x1?x2x1?x2sinx1?x22?|?2|sin

?x1?x2x1?x2x1?x2

由x1?x2﹤?，得x1?x2??2，于是，取???2，则当x1,x2?[0,+∞）， |x1?x2|﹤?，有|f?x1??f?x2?|﹤?。故f?x?在[0,+∞）上一致连续。

定理8：若f(x)在区间I上有定义,则f(x)在I上一致连续的充要条件是

lim?f(?)?0??0?.

推论： 若f(x)在区间I上连续,若?f(?)?sup|f(x')?f(x\)|?g(?)且lim?g(?)?0,则

x',x\?I??0f(x)在I上一致连续。

|x'?x\|??（若f(x)在区间I上有定义,则称?f(?)?sup|f(x')?f(x\|为函数f(x)的连续模数。）

由上述定理易得到一致连续的视察法:

x',x\?I|x'?x\|???f(?)的值只与f(x)的图象最陡的地方有关.若f(x)的图象在某处无限变陡,使得

?f(?)?0,则f(x)非一致连续;若f(x)在某处最陡,但??0?时,此处的变差

|f(x')?f(x\|?0,则f(x)一致连续。

例5： f(x)=

1在(0,c)(c?0)上是非一致连续的,但在[c,??)(c?0)上一致连续。 x1证明：f(x)?(x?0)，在x?0处，图形无限变陡。

x???0,?f(?)?????0??f(?)??0.时。

因此，f在任何区间(0,c)(c?0)上都是非一致连续的。

111但在区间[c,??)上，f(x)=在点c处最陡，且?f(?)???0(??0?)。

xcc??可见，f(x)=

1在[c,??)上一致连续。 x定理9: 设f(x)是定义在???,???上的以2T?T?0?为周期的周期函数，则f(x)在

???,???上一致连续的充要条件是f(x)在???,???上连续

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