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命题逻辑

1. 用形式语言写出下列命题：

(1) 如果这个数是大于1 的整数，则它的大于1 最小因数一定是素数。 (2) 如果王琳是学生党员又能严格要求自己，则她一定会得到大家的尊敬。 (3) 小王不富有但很快乐。

(4) 说逻辑学枯燥无味或毫无价值都是不对的。 (5) 我现在乘公共汽车或者坐飞机。

(6) 如果有雾，他就不能搭船而是乘车过江。 解：

(1) 设P：这个数是大于1 的整数。

Q：这个数的大于1 最小因数是素数。

则原命题可表示为：P?Q。

或：设P1：这个数大于1。

P2：这个数是整数。

Q：这个数的大于1 最小因数是素数。

则原命题可表示为：P1? P2?Q。

(2) 设P：王琳是学生。

Q：王琳是党员。 R：王琳能严格要求自己。 S：王琳会得到大家的尊敬。

则原命题可表示为：P ?Q?R? S。

(3) 设P：小王富有。

Q：小王很快乐。

则原命题可表示为：?P ?Q。

(4) 设P：逻辑学枯燥无味。

Q：逻辑学毫无价值。

则原命题可表示为：?( P?Q)。

(5) 设P：我现在乘公共汽车。

Q：我现在坐飞机。

则原命题可表示为：P??Q。

(6) 设P：天有雾。

Q：他搭船过江。

R：他乘车过江。

则原命题可表示为：P ?? Q?R。

2. 设P：天下雪。 Q：我将进城。 R：我有时间。 将下列命题形式化：

(1) 天不下雪，我也没有进城。 (2) 如果我有时间，我将进城。

(3) 如果天不下雪而我又有时间的话，我将进城。 解：原命题可分别表示为： (1) ?P ?? Q。 (2) R?Q。 (3) ?P ? R?Q。

3. 将P、Q、R所表示的命题与上题相同，试把下列公式翻译成自然语言： (1) R?Q (2) ?(R?Q) (3) Q?(R??P) (4) (Q?R)?(R?Q) 解：

(1) 原公式可翻译为：我有时间而且我将进城。

(2) ?(R?Q) ??R??Q。原公式可翻译为：我没有时间也没有进城。 (3) 我将进城当且仅当我有时间而且天不下雪。

(4) (Q?R)?(R?Q) ) ?(Q?R) ? (?Q ?? R) ? Q?R。原公式可翻译为：如果我进城，

我就有时间；如果我有时间，我就进城。或：我进城而且我有时间，或者我没有进城而且我也没有时间。或：我进城当且仅当我有时间。 4. 构造下列命题公式的真值表： (1) Q?(P?Q)?P (2) (P??Q)?(R?Q)?R (3) ((P?Q)?(Q?R))?(P??R) (4) ((?P?(P??Q))?R)?(Q??R) 解：

(1) Q?(P?Q)?P是含二个变元的三层复合命题，其真值表如下表所示：

P 0 Q 0 P?Q 1 Q?(P?Q) Q?(P?Q)?P 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 (2) (P??Q)?(R?Q)?R是含三个变元的四层复合命题，其真值表如下表所示： P 0 0 0 0 1 1 1 1 P 0 0 0 0 1 1 1 1 Q 0 0 1 1 0 0 1 1 Q 0 0 1 1 0 0 1 1 R 0 1 0 1 0 1 0 1 R 0 1 0 1 0 1 0 1 ?Q 1 1 0 0 1 1 0 0 R?Q 0 0 0 1 0 0 0 1 P??Q 0 0 0 0 1 1 0 0 (P?Q)?(Q?R) 1 1 1 1 0 1 1 1 (P??Q)?(R?Q) (P??Q)?(R?Q)?R 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 (3) ((P?Q)?(Q?R))?(P??R) 是含三个变元的三层复合命题，其真值表如下表所示：

?R P?Q Q?R 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 P?? R ((P?Q)?(Q?R))?(P??R) 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 (4) 记((?P?(P??Q))?R)?(Q??R) 为A，它是含三个变元的三层复合命题，其真值表

如下表所示： P 0 0 0 0 1 1 1 1 Q 0 0 1 1 0 0 1 1 R 0 1 0 1 0 1 0 1 ?P ?Q ?R P??Q Q??R ?P?(P??Q) 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 (?P?(P??Q))?R 1 1 1 1 0 1 0 1 A 1 1 1 1 0 1 1 1 5. 判断下列命题公式中哪些是重言式？哪些是矛盾式？哪些既不是重言式又不是矛

盾式？

(1) (P?Q)?(?Q??P) (2) (Q?(P?Q))?(P?Q) (3) (P?Q)?(Q?P)?(?P?Q)

(4) Q?(P?Q)?(P??Q) (5) (P?Q)?(P?Q?P)

(6) ((P?Q)?(R?S))?(P?R?Q?S)

解：(1) (P?Q)?(?Q??P) 是含二个变元的三层复合命题，其真值表如下表所示：

P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 ?P 1 1 0 0 ?Q 1 0 1 0 P?Q 1 1 0 1 ?Q??P 1 1 0 1 (P?Q)?(?Q??P) 1 1 1 1 所以(P?Q)?(?Q??P) 是重言式。

(2) (Q?(P?Q))?(P?Q) 是含二个变元的三层复合命题，其真值表如下表所示：

P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P?Q 1 1 0 1 Q?(P?Q) 0 1 0 1 (Q?(P?Q))?(P?Q) 1 1 1 1 所以(Q?(P?Q))?(P?Q) 是重言式。

(3) (P?Q)?(Q?P)?(?P?Q) 是含二个变元的三层复合命题，其真值表如下表所示： P Q ?P P?Q Q?P ?P?Q (P?Q)?(Q?P) (P?Q)?(Q?P)?(?P?Q) 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 所以(P?Q)?(Q?P)?(?P?Q)既不是重言式又不是矛盾式（或，是可满足式）。 (4) Q?(P?Q)?(P??Q) 是含二个变元的三层复合命题，其真值表如下表所示：

P Q ?Q P?Q Q?(P?Q) 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 P??Q 1 1 1 0 Q?(P?Q)?(P??Q) 1 1 1 0 所以Q?(P?Q)?(P??Q) 既不是重言式又不是矛盾式（或，是可满足式）。 (5) (P?Q)?(P?Q?P) 是含二个变元的三层复合命题，其真值表如下表所示：

P Q P?Q P?Q 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 P?Q?P 1 1 1 1 (P?Q)?(P?Q?P) 1 1 1 1 所以(P?Q)?(P?Q?P) 是重言式。