新疆师范大学

数学科学学院 2013-2014学年第一学期考试试卷

《高等代数》试卷（A卷）

专业 数学与应用数学 班级 2013-1 2 姓名 学号

题号 得分 一 二 三 四 五 六 总分 一、判断题（共6小题，每小题3分，共18分）

1．设A是一切实数构成的集合, 规则(a,b)?a是集合A的代数运算。（ ） b2.在六阶行列式的展开式中，项a22a16a34a53a61a45取“-”号。 （ ）

3．零多项式能被任意多项式整除。 （ ）

4.任意一个次数大于零的多项式在实数域上一定有根。 （ ） 5.多项式f(x1,x2,x3,x4)?x1?x2?x3?x4是一个对称多项式。 （ ） 6.若含有n个未知量n个方程的线性方程组系数行列式不等于零，则方程组只有惟一解。 （ ）

2222

二、填空题（共7小空，每小空3分，共21分）

1.多项式f(x)?2x4?x3?2x?1在有理数域上的根是 ； 。 2.求一个次数小于3的多项式f(x)= ，使得f(1)??3，

f(?2)?0，f(?1)?4。

3.设3次多项式f(x)的根为1和二重根-2，则f(x)= 。

a114. 三阶行列式 a21a31a12a22a32a13a23中（3，2）元a32的余子式是 ，代数a33余子式是 。

5.排列1 3 ．．．(2n-1) (2n) (2n-2) ．．．2的反序数是 。

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三、计算题（共3小题，每小题10分，共30分）

xa?aax?a1.计算n阶行列式Dn?

????aa?x

?x1?2x2?x3?1,?2. a取何值时，非齐次线性方程组?2x1?3x2?(a?2)x3?3,

?x?ax?2x?4,23?1（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？当有无穷解时，求出它的解。

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3.在有理数域上分解多项式f(x)?x4?5x3?6x2?4x?8。

四、证明题

1.设f(x)?d(x)f1(x)，g(x)?d(x)g1(x)。证明：若(f(x),g(x))?d(x)，且f(x)和

g(x)不全为零，则(f1(x),g1(x))?1；反之，若(f1(x),g1(x))?1，则d(x)是f(x)和g(x)的一个最大公因式。 (本小题11分)

2. 设f(x)是一个整系数多项式。证明：若是f(0)和f(1)都是奇数，那么f(x)不能有整数根。 (本小题10分)

《高等代数》试卷（A卷） 第3页 共4页

a11x1???a1nxn?b13．证明：含有n个未知量n?1个方程的线性方程组

????an1x1???annxn?bnan?1,1x1???an?1,nxn?bn?1有解

a11?的必要条件是行列式

an1??a1n?annb1??0。这个条件不是充分的，试举一反bnbn?1an?1,1?an?1,n例。

(本小题10分)

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数学科学学院 2013-2014学年第一学期考试试卷答案

《高等代数》试卷（A卷）

专业 数学与应用数学 班级 2013-1 2 姓名 学号 一、判断题（共6小题，每小题3分，共18分）

1． × 2. √ 3．√ 4.× 5. √ 6. √

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