江苏省连云港、徐州、宿迁三市2015届高三下学期第三次模拟数学试卷 下载本文

考点: 椭圆的简单性质.

专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: (1)由椭圆的离心率公式和准线方程,结合椭圆的a,b,c的关系,计算即可得到; (2)分别求出直线PB,TC的方程,代入椭圆方程,求得交点E,F的横坐标,再由三角形的面积公式,结合二次函数,计算即可得到最大值. 解答: 解:(1)由题意得e==解得a=2,c=则椭圆方程为

,b=1, +y=1;

2

,=,

(2)由B(0,1),C(0,﹣1),T(t,2), 则直线TB:y=x+1,代入椭圆方程可得,(1+

)x+x=0,

2

解得xE=,

直线TC:y=x﹣1,代入椭圆方程可得xF=,

k====?=?

=,

令t+12=m>12,则k=当且仅当m=24,即t=±2所以k的最大值为.

2

=1+

时,取得“=”,

﹣≤,

点评: 本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率和方程的运用,联立直线方程和椭圆方程,求得交点,同时考查三角形的面积公式的运用,考查运算能力,属于中档题.

19.设正项数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=b4=a6.

(1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设cn=

,数列{cn}的前n项和为Tn,求所有正整数m的值,使得

+an,n∈N.正项等比数列{bn}满足:b2=a2,

*

恰好为数列{cn}中的项.

考点: 数列的求和.

专题: 等差数列与等比数列.

分析: (1)利用递推式、等差数列与等比数列的通项公式即可得出; (2)由题意得cn=

,可得T2m=(a1+a3+…+a2m﹣1)+(b2+b4+…+b2m)=3+m

m

2

﹣1.T2m﹣1=T2m﹣b2m=3

m﹣1

+m﹣1,可得

2

≤3,故若使得恰好为数列{cn}中的项,只

能为c1,c2,c3.分类讨论即可得出. 解答: 解:(1)∵an>0,当n=1时,a1=由Sn=

+an,

=0.

+

,解得a1=1.

当n≥2,Sn﹣1=两式相减,得

又∵an>0,∴an+an﹣1≠0, ∴an﹣an﹣1=1,

∴数列{an}是等差数列,首项为1,公差为1, ∴an=1+(n﹣1)=n. 由b2=a2,b4=a6. ∴q=∴q=∴bn=

2

=,

=3,q>0.

=.

(2)由题意得cn=

∴T2m=(a1+a3+…+a2m﹣1)+(b2+b4+…+b2m) =

m

2

+

=3+m﹣1.

m2m﹣1m﹣12

T2m﹣1=T2m﹣b2m=3+m﹣1﹣2×3=3+m﹣1, ∴

=

=3﹣

≤3,

故若使得恰好为数列{cn}中的项,只能为c1,c2,c3.

(i)若3﹣=1,则3

m﹣1

=0,∴m无解.

(ii)若3﹣=2,可得3

m﹣1

+1﹣m=0,

2

显然m=1不符合题意,m=2符合题意.

当m≥3时,即f(m)=3+1﹣m,则f′(m)=3ln3﹣2m,

m﹣1m﹣12

设g(m)=3ln3﹣2m,则g′(m)=3(ln3)﹣2>0,

即f′(m)为增函数,故f′(m)≥f′(3)>0,即f(m)为增函数, 故f(m)>f(3)=1>0, 故当m≥3时,方程3(iii)若3﹣

m﹣1

m﹣1

2

m﹣1

+1﹣m=0无解,即m=2是方程唯一解.

=3,则m=1,即m=1.

2

2

综上所述:m=1或m=2.

点评: 本题考查了递推式、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性,考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力,属于中档题.

20.已知函数f(x)=x+ax﹣x+b,其中a,b为常数.

(1)当a=﹣1时,若函数f(x)在[0,1]上的最小值为,求b的值;

(2)讨论函数f(x)在区间(a,+∞)上的单调性;

(3)若曲线y=f(x)上存在一点P,使得曲线在点P处的切线与经过点P的另一条切线互相垂直,求a的取值范围.

考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用.

分析: (1)当a=﹣1时,求出函数的导数,利用函数f(x)在[0,1]上单调递减,推出b的关系式,求解b即可.(2)利用导函数的图象是开口向上的抛物线,对称轴为x=﹣a,求出极值点两个不等实根x1,2=

,①当方程f′(x)=0在区间(a,+∞)上无实根

3

2

时,②当方程f′(x)=0在区间(﹣∞,a]与(a,+∞)上各有一个实根时,③当方程f′(x)=0在区间(a,+∞)上有两个实根时,分别求解a的范围即可.

(3)设P(x1,f(x1)),则P点处的切线斜率m1=x1+2ax1﹣1,推出Q点处的切线方程,化简,

222

得x1+2x2=﹣3a,通过两条切线相互垂直,得到(4x2+8ax2+3a﹣1)(x2+2ax2﹣1)=﹣1.求解22

x2+2ax2﹣1≥﹣(a+1),然后推出a的范围即可.

2

解答: 解:(1)当a=﹣1时,f′(x)=x﹣2x﹣1,所以函数f(x)在[0,1]上单调递减,…(2分)

由f (1)=,即﹣1﹣1+b=,解得b=2.…(4分)

(2)f′(x)=x+2ax﹣1的图象是开口向上的抛物线,其对称轴为x=﹣a, 因为△=4a+4>0,f′(x)=0有两个不等实根x1,2=

2

2

2

,…(5分)

①当方程f′(x)=0在区间(a,+∞)上无实根时,有

解得

. …(6分)

②当方程f′(x)=0在区间(﹣∞,a]与(a,+∞)上各有一个实根时, 有:f′(a)<0,或

,解得

. …(8分)

③当方程f′(x)=0在区间(a,+∞)上有两个实根时,有,

解得综上:当当

时,f(x)在区间(a,+∞)上是单调增函数; 时,f(x)在区间(a,

)上是单调减函数,在区间(

+∞)上是单调增函数 当在区间(

时,f(x)在区间(a,

),(

,+∞)上是单调增函数,

)上是单调减函数.…(10)

2

(3)设P(x1,f(x1)),则P点处的切线斜率m1=x1+2ax1﹣1,

又设过P点的切线与曲线y=f(x)相切于点Q(x2,f(x2)),x1≠x2,则Q点处的切线方程为

2

y﹣f(x2)=( x2+2ax2﹣1)(x﹣x2),

2

所以f(x1)﹣f(x2)=( x2+2ax2﹣1)(x1﹣x2), 化简,得x1+2x2=﹣3a. …(12分)

22

因为两条切线相互垂直,所以(x1+2ax1﹣1)(x2+2ax2﹣1)=﹣1,

222

即(4x2+8ax2+3a﹣1)(x2+2ax2﹣1)=﹣1.

2222

令t=x2+2ax2﹣1≥﹣(a+1),则关于t的方程t(4t+3a+3)=﹣1在t∈[﹣(a+1),0)上有解,…(14分)

所以3a+3=﹣4t﹣≥4(当且仅当t=﹣时取等号), 解得a≥, 故a的取值范围是

. …(16分)

22

点评: 本题考查函数的导数的综合应用,函数的单调性以及函数的极值,函数的零点的应用,考查转化思想以及计算能力.

选修4-1:几何证明选讲

21.如图,已知直线AB为圆O的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.证明:DB=DC.