北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案
11－
①f(x)＝x2，g(x)＝2x－3；②f(x)＝x，g(x)＝x＋2；③f(x)＝ex，g(x)＝－；④f(x)＝ln x，g(x)＝x－.
x2其中在区间(0，＋∞)上存在“友好点”的是( ) A．①② C．③④
B．②③ D．①④
解析：对于①，|f(x)－g(x)|＝|x2－(2x－3)|＝|(x－1)2＋2|≥2，所以函数f(x)与g(x)在区间(0，＋∞)上不177
x－?2＋?≥， 存在“友好点”．故①错，应排除A，D．对于②，|f(x)－g(x)|＝|x－(x＋2)|＝??2?4?4??
所以函数f(x)与g(x)在区间(0，＋∞)上也不存在“友好点”．故②错，排除B．同理，可知③④均正确．
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
111
13．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)＝_____________.
232n－11111111
解析：∵f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋，∴f(n＋1)－f(n)＝＋.
232n2n＋12n－12n2n＋111
答案：＋ 2n2n＋1
14．已知点A(x1,3x1)，B(x2,3x2)是函数y＝3x的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB总是位3x1＋3x2x1＋x2
于A，B两点之间函数图像的上方，因此有结论＞3成立．运用类比思想方法可知，若点A(x1，
22π
－＜x＜0?的图像上任意不同两点，则类似地有_____________成立．tan x1)，B(x2，tan x2)是函数y＝tan x? ?2?
πtan x1＋tan x2
－＜x＜0?的图像是上凸的，所以线段AB的中点的纵坐标解析：因为y＝tan x?总是小于?2?2πtan x1＋tan x2x1＋x2x1＋x2x1＋x2?
－＜x＜0?图像上的点?函数y＝tan x?的纵坐标，即有＜tan 成立． ，tan?2?222??2
tan x1＋tan x2x1＋x2
答案：＜tan 22
15．(2017·湖北高考卷)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，n?n＋1?121
第n个三角形数为＝n＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n
222个数的表达式：
11
三角形数 N(n,3)＝n2＋n，
22正方形数 N(n,4)＝n2， 31
五边形数 N(n,5)＝n2－n，
22六边形数 N(n,6)＝2n2－n，
31
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……
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝______________.
解析：先根据给出的几个结论，推测出当k为偶数时，N(n，k)的表达式，然后再将n＝10，k＝24代入，计算N(10,24)的值．
kk
－1?n2－?－2?n，于是由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，…，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)＝??2??2?N(n,24)＝11n2－10n，故N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000.
答案：1 000
16．下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：
设第n个图有an个树枝，则an＋1与an(n≥2)之间的关系是______________． 答案：an＋1＝2an＋1
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数． 证明：(反证法)假设a不是偶数，即a是奇数． 设a＝2n＋1(n∈Z)，则a2＝4n2＋4n＋1. ∵4(n2＋n)是偶数，
∴4n2＋4n＋1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾． 由上述矛盾可知，a一定是偶数．
n
18．(12分)已知命题：“若数列{an}是等比数列，且an＞0，则数列bn＝a1a2…an(n∈N＋)也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．
解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{an}是等差数列，则数列bn＝a1＋a2＋…＋an
也是等差数列．
n
证明如下：
设等差数列{an}的公差为d，
n?n－1?dna1＋2a1＋a2＋…＋andd
则bn＝＝＝a1＋(n－1)，所以数列{bn}是以a1为首项，为公差的等差数nn22列．
19．(12分)设a＋b＝1，且a＞0，b＞0. 1125a＋?2＋?b＋?2≥. 求证：??a??b?2
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11112525a＋?2＋?b＋?2≥，只需证明(a2＋b2)＋?2＋2?＋4≥， 证明：考虑待证的结论??a??b?2?ab?211?17
只需证明(a2＋b2)＋??a2＋b2?≥2. ∵ab≤?
a＋b?211
＝，∴≥4.
ab?2?4
112
∴2＋2≥≥8. abab?a＋b?21
又∵a＋b≥＝，
22
2
2
11?17
∴(a2＋b2)＋??a2＋b2?≥2. 1125
a＋?2＋?b＋?2≥成立． ∴??a??b?2
20．(12分)已知实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．
证明：假设a，b，c，d都是非负实数， ∵a＋b＝c＋d＝1， ∴a，b，c，d∈[0,1]．
a＋cb＋d∴ac≤ac≤，bd≤bd≤.
22a＋cb＋d
∴ac＋bd≤＋＝1.
22
这与已知ac＋bd＞1相矛盾，∴假设不成立，即证得a，b，c，d中至少有一个是负数．
21．(12分)是否存在常数a，b，c，使得等式1(n2－12)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝an4＋bn2＋c对一切正整数n都成立？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．
解：假设存在a，b，c，使得所给等式成立． 令n＝1,2,3代入等式得 a＋b＋c＝0，??
?16a＋4b＋c＝3，??81a＋9b＋c＝18，
?
?
1解得?b＝－，4
??c＝0.
1a＝，4
11
以下用数学归纳法证明等式1(n2－12)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝n4－n2对一切正整数n都成立．
44①当n＝1时，由以上可知等式成立；
11
②假设当n＝k时，等式成立，即1(k2－12)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＝k4－k2，
44则当n＝k＋1时，
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1[(k＋1)2－12]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋k[(k＋1)2－k2]＋(k＋1)·[(k＋1)2－(k＋1)2]＝1(k2－12)＋2(k2－22)k?k＋1?1111＋…＋k(k2－k2)＋(2k＋1)＋2(2k＋1)＋…＋k(2k＋1)＝k4－k2＋(2k＋1)·＝(k＋1)4－(k＋1)2.
44244
由①②，可知等式对一切正整数n都成立．
1
22．(12分)(2015·浙江卷)已知数列{an}满足a1＝且an＋1＝an－a2n(n∈N＋)． 2an(1)证明：1≤≤2(n∈N＋)；
an＋1
1Sn1
(2)设数列{a2≤≤(n∈N＋)． n}的前n项和为Sn，证明：2?n＋2?n2?n＋1?
2证明：(1)由题意得an＋1－an＝－an≤0，
即an＋1≤an， 1故an≤.
2
由an＝(1－an－1)an－1得
an＝(1－an－1)(1－an－2)…(1－a1)a1＞0. 1
由0＜an≤得
2
ananan＝≤2. 2∈[1,2]，即1≤an＋1an－anan＋1(2)由题意得a2n＝an－an＋1， ∴Sn＝a1－an＋1.① 由
1anan－＝和1≤≤2得 an＋1anan＋1an＋11
111≤－≤2， an＋1an11
∴n≤－≤2n.
an＋1a1∴
11
≤an＋1≤(n∈N＋)．②
2?n＋1?n＋2
1Sn1由①②得≤≤(n∈N＋)．
2?n＋2?n2?n＋1?
第二章 §1
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