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北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案

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①f(x)=x2,g(x)=2x-3;②f(x)=x,g(x)=x+2;③f(x)=ex,g(x)=-;④f(x)=ln x,g(x)=x-.

x2其中在区间(0,+∞)上存在“友好点”的是( ) A.①② C.③④

B.②③ D.①④

解析:对于①,|f(x)-g(x)|=|x2-(2x-3)|=|(x-1)2+2|≥2,所以函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)上不177

x-?2+?≥, 存在“友好点”.故①错,应排除A,D.对于②,|f(x)-g(x)|=|x-(x+2)|=??2?4?4??

所以函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)上也不存在“友好点”.故②错,排除B.同理,可知③④均正确.

答案:C

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

111

13.设f(n)=1+++…+(n∈N+),那么f(n+1)-f(n)=_____________.

232n-11111111

解析:∵f(n+1)=1+++…+++,∴f(n+1)-f(n)=+.

232n2n+12n-12n2n+111

答案:+ 2n2n+1

14.已知点A(x1,3x1),B(x2,3x2)是函数y=3x的图像上任意不同两点,依据图像可知,线段AB总是位3x1+3x2x1+x2

于A,B两点之间函数图像的上方,因此有结论>3成立.运用类比思想方法可知,若点A(x1,

22π

-<x<0?的图像上任意不同两点,则类似地有_____________成立.tan x1),B(x2,tan x2)是函数y=tan x? ?2?

πtan x1+tan x2

-<x<0?的图像是上凸的,所以线段AB的中点的纵坐标解析:因为y=tan x?总是小于?2?2πtan x1+tan x2x1+x2x1+x2x1+x2?

-<x<0?图像上的点?函数y=tan x?的纵坐标,即有<tan 成立. ,tan?2?222??2

tan x1+tan x2x1+x2

答案:<tan 22

15.(2017·湖北高考卷)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,…,n?n+1?121

第n个三角形数为=n+n.记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n

222个数的表达式:

11

三角形数 N(n,3)=n2+n,

22正方形数 N(n,4)=n2, 31

五边形数 N(n,5)=n2-n,

22六边形数 N(n,6)=2n2-n,

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……

可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=______________.

解析:先根据给出的几个结论,推测出当k为偶数时,N(n,k)的表达式,然后再将n=10,k=24代入,计算N(10,24)的值.

kk

-1?n2-?-2?n,于是由N(n,4)=n2,N(n,6)=2n2-n,…,可以推测:当k为偶数时,N(n,k)=??2??2?N(n,24)=11n2-10n,故N (10,24)=11×102-10×10=1 000.

答案:1 000

16.下面是按照一定规律画出的一列“树型”图:

设第n个图有an个树枝,则an+1与an(n≥2)之间的关系是______________. 答案:an+1=2an+1

三、解答题(本大题共6小题,共70分)

17.(10分)已知a是整数,a2是偶数,求证:a也是偶数. 证明:(反证法)假设a不是偶数,即a是奇数. 设a=2n+1(n∈Z),则a2=4n2+4n+1. ∵4(n2+n)是偶数,

∴4n2+4n+1是奇数,这与已知a2是偶数矛盾. 由上述矛盾可知,a一定是偶数.

n

18.(12分)已知命题:“若数列{an}是等比数列,且an>0,则数列bn=a1a2…an(n∈N+)也是等比数列”.类比这一性质,你能得到关于等差数列的一个什么性质?并证明你的结论.

解:类比等比数列的性质,可以得到等差数列的一个性质是:若数列{an}是等差数列,则数列bn=a1+a2+…+an

也是等差数列.

n

证明如下:

设等差数列{an}的公差为d,

n?n-1?dna1+2a1+a2+…+andd

则bn===a1+(n-1),所以数列{bn}是以a1为首项,为公差的等差数nn22列.

19.(12分)设a+b=1,且a>0,b>0. 1125a+?2+?b+?2≥. 求证:??a??b?2

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11112525a+?2+?b+?2≥,只需证明(a2+b2)+?2+2?+4≥, 证明:考虑待证的结论??a??b?2?ab?211?17

只需证明(a2+b2)+??a2+b2?≥2. ∵ab≤?

a+b?211

=,∴≥4.

ab?2?4

112

∴2+2≥≥8. abab?a+b?21

又∵a+b≥=,

22

2

2

11?17

∴(a2+b2)+??a2+b2?≥2. 1125

a+?2+?b+?2≥成立. ∴??a??b?2

20.(12分)已知实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a,b,c,d中至少有一个是负数.

证明:假设a,b,c,d都是非负实数, ∵a+b=c+d=1, ∴a,b,c,d∈[0,1].

a+cb+d∴ac≤ac≤,bd≤bd≤.

22a+cb+d

∴ac+bd≤+=1.

22

这与已知ac+bd>1相矛盾,∴假设不成立,即证得a,b,c,d中至少有一个是负数.

21.(12分)是否存在常数a,b,c,使得等式1(n2-12)+2(n2-22)+…+n(n2-n2)=an4+bn2+c对一切正整数n都成立?若存在,求出a,b,c的值;若不存在,说明理由.

解:假设存在a,b,c,使得所给等式成立. 令n=1,2,3代入等式得 a+b+c=0,??

?16a+4b+c=3,??81a+9b+c=18,

?

?

1解得?b=-,4

??c=0.

1a=,4

11

以下用数学归纳法证明等式1(n2-12)+2(n2-22)+…+n(n2-n2)=n4-n2对一切正整数n都成立.

44①当n=1时,由以上可知等式成立;

11

②假设当n=k时,等式成立,即1(k2-12)+2(k2-22)+…+k(k2-k2)=k4-k2,

44则当n=k+1时,

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1[(k+1)2-12]+2[(k+1)2-22]+…+k[(k+1)2-k2]+(k+1)·[(k+1)2-(k+1)2]=1(k2-12)+2(k2-22)k?k+1?1111+…+k(k2-k2)+(2k+1)+2(2k+1)+…+k(2k+1)=k4-k2+(2k+1)·=(k+1)4-(k+1)2.

44244

由①②,可知等式对一切正整数n都成立.

1

22.(12分)(2015·浙江卷)已知数列{an}满足a1=且an+1=an-a2n(n∈N+). 2an(1)证明:1≤≤2(n∈N+);

an+1

1Sn1

(2)设数列{a2≤≤(n∈N+). n}的前n项和为Sn,证明:2?n+2?n2?n+1?

2证明:(1)由题意得an+1-an=-an≤0,

即an+1≤an, 1故an≤.

2

由an=(1-an-1)an-1得

an=(1-an-1)(1-an-2)…(1-a1)a1>0. 1

由0<an≤得

2

ananan=≤2. 2∈[1,2],即1≤an+1an-anan+1(2)由题意得a2n=an-an+1, ∴Sn=a1-an+1.① 由

1anan-=和1≤≤2得 an+1anan+1an+11

111≤-≤2, an+1an11

∴n≤-≤2n.

an+1a1∴

11

≤an+1≤(n∈N+).②

2?n+1?n+2

1Sn1由①②得≤≤(n∈N+).

2?n+2?n2?n+1?

第二章 §1

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