北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案
11
C．1＋＋＜3
23111
D．1＋＋＋＜3
234
解析：∵n＞1且n∈N＋，∴n取的第一个值n0＝2. 11
∴第一步应验证：1＋＋＜2.
23答案：B
1111
3．设Sk＝＋＋＋…＋，则Sk＋1为( )
2kk＋1k＋2k＋31
A．Sk＋
2k＋211
C．Sk＋－ 2k＋12k＋2解析：Sk＋1＝答案：C
111
4．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则n＝1时f(n)是( )
232n＋1A．1 11
C．1＋＋
23
解析：∵f(n)共有2n＋1项，
11
∴当n＝1时有2＋1＝3项，即f(1)＝1＋＋. 23答案：C
1111
5．已知f(n)＝＋＋＋…＋2，则( )
nn＋1n＋2n11
A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋
23111
B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
23411
C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋ 23111
D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ 234
解析：观察分母的首项为n，最后一项为n2，公差为1，∴项数为n2－n＋1. 答案：D
?n＋3??n＋4?
6．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N＋)时，第一步验证当n＝1时，左
2边应取的项为________．
解析：当n＝1时，左边要从1加到n＋3，即1＋2＋3＋4.
23
11
B．Sk＋＋
2k＋12k＋211
D．Sk＋－
2k＋22k＋1
1111111111＋＋…＋＋＋＝Sk＋＋－＝Sk＋－.
2k2k＋12k＋2k＋2k＋32k＋12k＋2k＋12k＋12k＋2
1
B．
3
D．以上答案均不正确
北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案
答案：1＋2＋3＋4
7．已知每项都大于零的数列{an}中，首项a1＝1，前n项和Sn满足SnSn－1－Sn－1Sn＝2SnSn－1(n≥2)，则a81＝________.
解析：∵SnSn－1－Sn－1Sn＝2SnSn－1， S1＝a1＝1，
∴S2＝9，S3＝25，…，Sn＝(2n－1)2. 利用数学归纳法可证明Sn＝(2n－1)2. ∴a81＝S81－S80＝640. 答案：640
111n＋
8．已知f(n)＝1＋＋＋…＋，n∈N＋，用数学归纳法证明f(2n)＞时，f(2n1)－f(2n)＝_____________.
23n21
解析：f(n)有n项，最后一项为，
n1
f(2n)有2n项，最后一项为n，
2f(2n1)有2n
＋
＋1
1
项，最后一项为n＋1，
2
111＋
∴f(2n1)比f(2n)多出的项为n＋n＋…＋n＋1.
2＋12＋22111
答案：n＋n＋…＋n＋1 2＋12＋22
ax9．设a＞0，f(x)＝，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N＋.
a＋x(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论． (1)解：因为a1＝1，所以a2＝f(a1)＝f(1)＝a
a3＝f(a2)＝，
2＋aa
a4＝f(a3)＝. 3＋a
a
猜想an＝(n∈N＋)．
?n－1?＋a
(2)证明：①易知，当n＝1时，由猜想知正确． a
②假设当n＝k时正确，即ak＝，
?k－1?＋aaa·?k－1?＋aa·ak则ak＋1＝f(ak)＝＝ aa＋ak
a＋
?k－1?＋a
24
a， 1＋a
北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案
＝
aa
＝.
?k－1?＋a＋1[?k＋1?－1]＋a
这说明，当n＝k＋1时也正确．
a
由①②，可知对于任何n∈N＋，都有an＝. ?n－1?＋a
10．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N＋)，并用数学归纳法证明你的结论． 解：当n＝1时，21＋2＝4＞12， 当n＝2时，22＋2＝6＞22， 当n＝3时，23＋2＝10＞32， 当n＝4时，24＋2＝18＞42，
由此可以猜想，2n＋2＞n2(n∈N＋)成立． 用数学归纳法证明如下：
(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1， ∴左边＞右边，不等式成立．
当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4， ∴左边＞右边，不等式成立．
当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9， ∴左边＞右边，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥3且k∈N＋)时，不等式成立， 即2k＋2＞k2，
那么当n＝k＋1时，2k1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2＞2k2－2.
＋
要证当n＝k＋1时结论成立，只需证2k2－2≥(k＋1)2， 即证k2－2k－3≥0， 即证(k＋1)(k－3)≥0. 又∵k＋1＞0，k－3≥0， ∴(k＋1)(k－3)≥0.
∴当n＝k＋1时，结论成立． 由(1)和(2)，可知n∈N＋时，2n＋2＞n2.
11．用数学归纳法证明34n1＋52n1(n∈N)能被8整除时，当n＝k＋1时，对于34(k
＋
＋
＋1)＋1
＋52(k
＋1)＋1
可变
形为( )
A．56·34k1＋25(34k1＋52k1)
＋
＋
＋
B．34·34k1＋52·52k
＋
C．34k1＋52k1
＋
＋
D．25(34k1＋52k1)
＋
＋
25
北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案
解析：当n＝k时，34k1＋52k
＋
＋1
可被8整除；
＝34k1·34＋52k1·52＝56·34k1＋25(34k1＋52k1)．
＋
＋
＋
＋
＋
当n＝k＋1时，34(k答案：A
＋1)＋1
＋52(k
＋1)＋1
12．平面几何中，有边长为a的正三角形内任意一点到三边距离之和为定值为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为( )
A．C．
4
a 35a 4
B．D．
6a 36a 4
3
a，类比上述命题棱长2
解析：利用等体积法，四面体内一点和四个顶点连线将四面体分成四个四面体，这四个四面体体积之和等于大的四面体体积．
答案：B
13．用数学归纳法证明－1＋3－5＋…＋(－1)n(2n－1)＝(－1)nn时，第二步中n＝k＋1时，要证明的式子应为____________.
解析：当n＝k＋1时，
左边＝－1＋3－5＋…＋(－1)k1[2(k＋1)－1]＝
＋
－1＋3－5＋…＋(－1)k1(2k＋1)．
＋
答案：－1＋3－5＋…＋(－1)k1(2k＋1)＝(－1)k1(k＋1)
＋
＋
14．设f(n)＝n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N＋)，则用数学归纳法证明f(n)能被9整除的过程中，f(k＋1)＝f(k)＋_______________.
解析：f(k＋1)＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋9k2＋27k＋27＝f(k)＋9k2＋27k＋27. 答案：9k2＋27k＋27
1111113111
15．由下列不等式：1＞，1＋＋＞1,1＋＋＋…＋＞，1＋＋＋…＋＞2，…，你能得到一
22323722315个怎样的一般不等式？并加以证明．
解：猜想第n个不等式，即一般不等式为： 111n
1＋＋＋…＋n＞(n∈N＋)． 232－12用数学归纳法证明如下： 1
(1)当n＝1时，1＞，猜想成立．
2
111k
(2)假设当n＝k时，猜想成立，即1＋＋＋…＋k＞，
232－12则当n＝k＋1时，
111111k111k2kk＋1
1＋＋＋…＋k＋k＋k＋…＋k＋1＞＋k＋k＋…＋k＋1＞＋k＋1＝. 2322－122＋12－1222＋12－122
26