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北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案

?x0+Δx?2+?x0+Δx?-2-?x20+x0-2?

则k=lim =

ΔxΔx→02x0+1=3. ∴x0=1.∴y0=0. ∴M点的坐标为(1,0). 答案:B

3.做直线运动的一物体,其位移s与时间t的关系式为s=3t-t2,t∈[0,+∞),则其初速度为( ) A.0 B.3 C.-2

D.3-2t

解析:该物体在t=0时的瞬时速度

v=Δlimt→0 3Δt-?Δt?2-0

Δt=Δlimt→0 (3-Δt)=3-0=3.

答案:B

4.设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a的值是( A.1 B.12

C.-1

2

D.-1 解析:由题意得2=a?1+Δlimx→0 Δx?2-a

Δx=Δlimx→0 (2a+aΔx)=2a,

∴a=1. 答案:A

5.曲线y=f(x)在点(xπ

0,f(x0))处的切线倾斜角是4,则f′(x0)=( )

A.π4 B.-π

4 C.-1

D.1

解析:由题意知f′(xπ

0)=tan 4=1.

答案:D

6.曲线f(x)=x2在曲线上某点的切线的倾斜角为3π

4,则此点的坐标是________.解析:设所求点的坐标为(x0,x20),由题意得 f′(x0)=-1.

利用导数的定义求得f′(x0)=2x0, 故2x1,x10=-0=-2.

故所求点的坐标为?11?-2,4??. 43

)

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11-,? 答案:??24?7.已知函数f(x)的图像在点M(1,f(1))处的切线方程是2x-3y+1=0,则f(1)+f′(1)=________. 25

解析:f′(1)=,f(1)=1,则f(1)+f′(1)=. 335

答案: 3

8.已知函数y=x3-1,当x=2时,lim →

Δx0

33

Δy?x0+Δx?-1-?x0-1?解析:=

ΔxΔx2

=3x20+3x0·Δx+(Δx),

Δy

等于__________________. Δx∴lim →

Δx0

Δy222

=lim[3x+3x·Δx+(Δx)]=3x000. ΔxΔx→0

∴f′(x0)=3x20. ∴f′(2)=3×22=12. 答案:12

1

9.求函数y=f(x)=x-在x=1处的导数.

x解:Δy=(1+Δx)-

11Δx1-?=Δx+-?,

1+Δx?1?1+Δx

Δx

Δx+

1+ΔxΔy1

==1+, ΔxΔx1+Δx

Δx0

lim →

Δy?1+1?=2. =lim

ΔxΔx→0?1+Δx?

10.已知曲线C:y=f(x)=x3.

(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程; (2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点?

解:(1)将x=1代入曲线C的方程得y=1,所以切点P的坐标为(1,1). ?1+Δx?3-1Δy

因为f′(1)=lim =lim =

ΔxΔx→0ΔxΔx→0

Δx0

2

lim[3+3Δx+(Δx)]=3, →

所以过P点的切线方程为y-1=3(x-1), 即3x-y-2=0.

??y=3?x-1?+1,(2)由??(x-1)2(x+2)=0, 3

?y=x?

∴x1=1,x2=-2.

所以公共点为(1,1)和(-2,-8),

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说明切线与曲线C的公共点除了切点外,还有另外的点.

11.下列各式中正确的是( ) A.f′(x0)=lim →

Δx0

f?x0-Δx?-f?x0?

Δxf?x0-Δx?+f?x0?

Δxf?x0+Δx?+f?x0?

Δxf?x0?-f?x0-Δx?

Δx

B.f′(x0)=lim →

Δx0

C.f′(x0)=lim →

Δx0

D.f′(x0)=lim →

Δx0

解析:由导数的定义可知, f′(x0)=lim →

Δx0

f?x0+Δx?-f?x0?

Δx

Δx0

lim →

f?x0-Δx?-f?x0?

-Δx

故排除A,B,C. 在D中,f′(x0)=lim →

Δx0

f?x0?-f?x0-Δx?

Δx

Δx0

lim →

f?x0-Δx?-f?x0?

.

-Δx

答案:D

31

1,-?,则过点P的切线的倾斜角为________. 12.已知曲线y=x2-2上一点P?2??21

解析:令f(x)=x2-2,

2

12?121

Δy=(1+Δx)2-2-??2×1-2?=2Δx+Δx, 212

Δx+ΔxΔy21==Δx+1, ΔxΔx2∴lim →

Δx0

Δy?1Δx+1?=1. =lim ?ΔxΔx→0?2

3

1,-?的切线的斜率为1,切线的倾斜角为45°∴f′(1)=1.∴过点P?. 2??答案:45°

13.已知曲线y=2x2+4x在点P处的切线的斜率为16,则点P的坐标为________. 解析:设P(x0,2x20+4x0), 则f′(x0)=lim →

Δx0

f?x0+Δx?-f?x0?

Δx

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2?Δx?2+4x0·Δx+4Δxlim =4x0+4.

ΔxΔx→0

又∵f′(x0)=16,

∴4x0+4=16.∴x0=3.∴P(3,30). 答案:(3,30)

14.设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0),若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,求a的值.

22

解:∵Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=(x0+Δx)3+a(x0+Δx)2-9(x0+Δx)-1-(x30+ax0-9x0-1)=(3x0+2ax0-

9)Δx+(3x0+a)(Δx)2+(Δx)3,

Δy2

=3x20+2ax0-9+(3x0+a)Δx+(Δx). Δx

Δy2

当Δx无限趋近于0时,无限趋近于3x0+2ax0-9.

Δx即f′(x0)=3x20+2ax0-9, aa

x0+?2-9-. ∴f′(x0)=3?3??3

aa2

当x0=-时,f′(x0)有最小值-9-. 33∵斜率最小的切线与12x+y=6平行, a2

∴该切线斜率为-12.∴-9-=-12.

3解得a=±3. 又a<0,∴a=-3. 1415.已知曲线y=x3+.

33

(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;

(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程,所求切线与曲线是否还有其他公共点?若有,请求出其坐标;若没有,试说明理由.

14

解:(1)由导数的定义求得函数f(x)=x3+在x=2处的导数为f′(2)=4.

33由导数的几何意义,点P(2,4)处的切线的斜率为4, 故所求的曲线的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0.

14?14

x0,x3+(2)设曲线y=x3+与过点P(2,4)的切线相切于点A?303?,利用导数的定义和几何意义,切线?33的斜率为k=f′(x0)=x20,

134?2

切线方程为y-??3x0+3?=x0(x-x0).

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2