北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案
1．一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( ) A．0.41 C．4
2222
Δs?3＋2.1?－?3＋2?2.1－2解析：＝＝
Δt0.12.1－2
B．3 D．4.1
＝
4.1×0.1
＝4.1 0.1
答案：D
2．设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为( ) A．2.1 C．2
Δyf?1.1?－f?1?0.21解析：＝＝＝2.1.
Δx0.11.1－1答案：A
Δs
3．一直线运动的物体，从时间t到t＋Δt时，物体的位移为Δs，那么Δt趋于0时，为( )
ΔtA．从时间t到t＋Δt时物体的平均速度 B．在t时刻物体的瞬时速度 C．当时间为Δt时物体的速度 D．在时间t＋Δt时物体的瞬时速度
Δs
解析：中Δt趋于0时得到的数值是物体在t时刻的瞬时速度．
Δt答案：B
1
4．质点的运动方程是s(t)＝2，则质点在t＝2时的速度为________．
t
11
－24＋ΔtΔss?2＋Δt?－s?2??2＋Δt?4Δs1
解析：因为＝＝＝－→－，所以质点在t＝22，当Δt→0时，ΔtΔtΔtΔt44?2＋Δt?1时的速度为－.
4
1
答案：－
4
5．已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.
Δy
(1)求当x1＝4，且Δx＝1时，函数增量Δy和平均变化率；
Δx
B．1.1 D．0
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北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案
Δy
(2)求当x1＝4，且Δx＝0.1时，函数增量Δy和平均变化率.
Δx解：f(x)＝2x2＋3x－5， ∴Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)
2
＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2×x1＋3×x1－5)
＝2[ (Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx. (1)当x1＝4，Δx＝1时，Δy＝2＋(4×4＋3)×1＝21， ∴
Δy21
＝＝21. Δx1
(2)当x1＝4，Δx＝0.1时，
Δy＝2×0.12＋(4×4＋3)×0.1＝0.02＋1.9＝1.92， ∴
Δy1.92＝＝19.2. Δx0.1
活页作业(五) 变化的快慢与变化率
1．一辆汽车在起步的前10秒内，按s＝3t2＋1做直线运动，则在2≤t≤3这段时间内的平均速度是( ) A．4 C．15
解析：Δs＝(3×32＋1)－(3×22＋1)＝15. ∴
Δs15
＝＝15. Δt3－2
B．13 D．28
答案：C
1
2．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系式为s＝t2，则当
8t＝2时，此木头在水平方向的瞬时速度为( )
A．2 1C． 2
B．1 1D．
4
1111Δs1111
解析：因为Δs＝(2＋Δt)2－×22＝Δt＋(Δt)2，所以＝＋Δt.当Δt无限趋近于0时，＋Δt无限
8828Δt282811
趋近于，因此当t＝2时，木块在水平方向的瞬时速度为.
22
答案：C
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北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案
3．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy等于( ) A．f(x0＋Δx) C．f(x0)－Δx
解析：由定义可以得出． 答案：D
4．在求平均变化率时，关于自变量的改变量Δx的说法正确的是( ) A．Δx＞0 C．Δx＝0
B．Δx＜0 D．Δx≠0 B．f(x0)＋Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
Δy
解析：平均变化率为，分母是Δx，不为零．
Δx答案：D
5．关于函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，下列说法正确的是( ) A．函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是在x＝x0处的平均变化率 B．函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是在x＝x0处平均变化率的近似值 C．当Δx趋于0时，函数f(x)在x＝x0处的平均变化率趋于瞬时变化率 D．当Δx＝0时，函数f(x)在x＝x0处的平均变化率等于瞬时变化率 解析：由瞬时变化率的定义可以得出． 答案：C
6．函数y＝x2－2x＋1在x＝－2附近的平均变化率为_____________．
解析：当自变量从－2变化到－2＋Δx时，函数的平均变化率为?－2＋Δx?2－2?－2＋Δx?＋1－?4＋4＋1?
＝Δx－6.
Δx
答案：Δx－6
7．将半径为R的球加热，若球的半径增加ΔR，则球的体积的平均变化率为______________． 4π4πΔV4π
解析：ΔV＝(R＋ΔR)3－R3，体积的平均变化率＝＝(ΔR2＋3R·ΔR＋3R2)．
33ΔR34π
答案：(ΔR2＋3R·ΔR＋3R2)
3
8．设函数y＝x2＋2x，x从1变到2时，函数的平均变化率为________． 解析：Δx＝2－1＝1，
Δy＝(22＋2×2)－(12＋2×1)＝5. 答案：5
9．已知质点M按规律s＝2t2＋2t(s的单位：m，t的单位：s)做直线运动．求： (1)前3 s内的平均速度； (2)从2 s到3 s内的平均速度；
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Δy
＝Δx
北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案
(3)从2.8 s到3 s内的平均速度； (4)从2.9 s到3 s内的平均速度； (5)估计质点在3 s时的瞬时速度．
Δs24
解：(1)Δt＝3(s)，Δs＝(2×9＋2×3)－0＝24(m)，故前3 s内的平均速度为＝＝8(m/s)．
Δt3
Δs
(2)Δt＝3－2＝1(s)，Δs＝ (2×32＋2×3)－(2×22＋2×2)＝12(m)，故从2 s到3 s内的平均速度为＝
Δt12
＝12(m/s)． 1
(3)Δt＝3－2.8＝0.2(s)，Δs＝(2×32＋2×3)－(2×2.82＋2×2.8)＝2.72(m)，故从2.8 s到3 s内的平均速Δs2.72度为＝＝13.6(m/s)．
Δt0.2
(4)Δt＝3－2.9＝0.1(s)，Δs＝(2×32＋2×3)－(2×2.92＋2×2.9)＝1.38(m)，故从2.9 s到3 s内的平均速Δs1.38度为＝＝13.8(m/s)．
Δt0.1
22
Δs2?t＋Δt?＋2?t＋Δt?－?2t＋2t?(5)＝＝4t＋2＋Δt，当Δt趋于0时，平均速度趋于14，故可估计质点ΔtΔt
在3 s时的瞬时速度为14 m/s.
10．若一物体运动函数如下(位移s的单位：m，时间t的单位：s)：
2??3t＋2?t≥3?，s＝?求： 2
?29＋3?t－3??0≤t＜3?.?
(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
解：(1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为 Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3,5]内的位移变化量为
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， Δs48
∴物体在t∈[3,5]内的平均速度为＝＝24(m/s)．
Δt2(2)求物体的初速度v0，
即求物体在t＝0时的瞬时速度． ∵物体在t＝0附近的平均变化率为
22
Δs29＋3×?0＋Δt－3?－29－3×?0－3?＝＝3Δt－18， ΔtΔt
Δs
当Δt趋于0时，趋于－18，
Δt
∴物体在t＝0时的瞬时速度(初速度)为－18 m/s.
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