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北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案

1.一物体的运动方程是s=3+t2,则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( ) A.0.41 C.4

2222

Δs?3+2.1?-?3+2?2.1-2解析:==

Δt0.12.1-2

B.3 D.4.1

4.1×0.1

=4.1 0.1

答案:D

2.设函数y=f(x)=x2-1,当自变量x由1变为1.1时,函数的平均变化率为( ) A.2.1 C.2

Δyf?1.1?-f?1?0.21解析:===2.1.

Δx0.11.1-1答案:A

Δs

3.一直线运动的物体,从时间t到t+Δt时,物体的位移为Δs,那么Δt趋于0时,为( )

ΔtA.从时间t到t+Δt时物体的平均速度 B.在t时刻物体的瞬时速度 C.当时间为Δt时物体的速度 D.在时间t+Δt时物体的瞬时速度

Δs

解析:中Δt趋于0时得到的数值是物体在t时刻的瞬时速度.

Δt答案:B

1

4.质点的运动方程是s(t)=2,则质点在t=2时的速度为________.

t

11

-24+ΔtΔss?2+Δt?-s?2??2+Δt?4Δs1

解析:因为===-→-,所以质点在t=22,当Δt→0时,ΔtΔtΔtΔt44?2+Δt?1时的速度为-.

4

1

答案:-

4

5.已知函数f(x)=2x2+3x-5.

Δy

(1)求当x1=4,且Δx=1时,函数增量Δy和平均变化率;

Δx

B.1.1 D.0

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Δy

(2)求当x1=4,且Δx=0.1时,函数增量Δy和平均变化率.

Δx解:f(x)=2x2+3x-5, ∴Δy=f(x1+Δx)-f(x1)

2

=2(x1+Δx)2+3(x1+Δx)-5-(2×x1+3×x1-5)

=2[ (Δx)2+2x1Δx]+3Δx=2(Δx)2+(4x1+3)Δx. (1)当x1=4,Δx=1时,Δy=2+(4×4+3)×1=21, ∴

Δy21

==21. Δx1

(2)当x1=4,Δx=0.1时,

Δy=2×0.12+(4×4+3)×0.1=0.02+1.9=1.92, ∴

Δy1.92==19.2. Δx0.1

活页作业(五) 变化的快慢与变化率

1.一辆汽车在起步的前10秒内,按s=3t2+1做直线运动,则在2≤t≤3这段时间内的平均速度是( ) A.4 C.15

解析:Δs=(3×32+1)-(3×22+1)=15. ∴

Δs15

==15. Δt3-2

B.13 D.28

答案:C

1

2.一块木头沿某一斜面自由下滑,测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系式为s=t2,则当

8t=2时,此木头在水平方向的瞬时速度为( )

A.2 1C. 2

B.1 1D.

4

1111Δs1111

解析:因为Δs=(2+Δt)2-×22=Δt+(Δt)2,所以=+Δt.当Δt无限趋近于0时,+Δt无限

8828Δt282811

趋近于,因此当t=2时,木块在水平方向的瞬时速度为.

22

答案:C

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3.设函数y=f(x),当自变量x由x0改变到x0+Δx时,函数的改变量Δy等于( ) A.f(x0+Δx) C.f(x0)-Δx

解析:由定义可以得出. 答案:D

4.在求平均变化率时,关于自变量的改变量Δx的说法正确的是( ) A.Δx>0 C.Δx=0

B.Δx<0 D.Δx≠0 B.f(x0)+Δx D.f(x0+Δx)-f(x0)

Δy

解析:平均变化率为,分母是Δx,不为零.

Δx答案:D

5.关于函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率,下列说法正确的是( ) A.函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率是在x=x0处的平均变化率 B.函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率是在x=x0处平均变化率的近似值 C.当Δx趋于0时,函数f(x)在x=x0处的平均变化率趋于瞬时变化率 D.当Δx=0时,函数f(x)在x=x0处的平均变化率等于瞬时变化率 解析:由瞬时变化率的定义可以得出. 答案:C

6.函数y=x2-2x+1在x=-2附近的平均变化率为_____________.

解析:当自变量从-2变化到-2+Δx时,函数的平均变化率为?-2+Δx?2-2?-2+Δx?+1-?4+4+1?

=Δx-6.

Δx

答案:Δx-6

7.将半径为R的球加热,若球的半径增加ΔR,则球的体积的平均变化率为______________. 4π4πΔV4π

解析:ΔV=(R+ΔR)3-R3,体积的平均变化率==(ΔR2+3R·ΔR+3R2).

33ΔR34π

答案:(ΔR2+3R·ΔR+3R2)

3

8.设函数y=x2+2x,x从1变到2时,函数的平均变化率为________. 解析:Δx=2-1=1,

Δy=(22+2×2)-(12+2×1)=5. 答案:5

9.已知质点M按规律s=2t2+2t(s的单位:m,t的单位:s)做直线运动.求: (1)前3 s内的平均速度; (2)从2 s到3 s内的平均速度;

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Δy

=Δx

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(3)从2.8 s到3 s内的平均速度; (4)从2.9 s到3 s内的平均速度; (5)估计质点在3 s时的瞬时速度.

Δs24

解:(1)Δt=3(s),Δs=(2×9+2×3)-0=24(m),故前3 s内的平均速度为==8(m/s).

Δt3

Δs

(2)Δt=3-2=1(s),Δs= (2×32+2×3)-(2×22+2×2)=12(m),故从2 s到3 s内的平均速度为=

Δt12

=12(m/s). 1

(3)Δt=3-2.8=0.2(s),Δs=(2×32+2×3)-(2×2.82+2×2.8)=2.72(m),故从2.8 s到3 s内的平均速Δs2.72度为==13.6(m/s).

Δt0.2

(4)Δt=3-2.9=0.1(s),Δs=(2×32+2×3)-(2×2.92+2×2.9)=1.38(m),故从2.9 s到3 s内的平均速Δs1.38度为==13.8(m/s).

Δt0.1

22

Δs2?t+Δt?+2?t+Δt?-?2t+2t?(5)==4t+2+Δt,当Δt趋于0时,平均速度趋于14,故可估计质点ΔtΔt

在3 s时的瞬时速度为14 m/s.

10.若一物体运动函数如下(位移s的单位:m,时间t的单位:s):

2??3t+2?t≥3?,s=?求: 2

?29+3?t-3??0≤t<3?.?

(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度; (2)物体的初速度v0;

(3)物体在t=1时的瞬时速度.

解:(1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为 Δt=5-3=2,

物体在t∈[3,5]内的位移变化量为

Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48, Δs48

∴物体在t∈[3,5]内的平均速度为==24(m/s).

Δt2(2)求物体的初速度v0,

即求物体在t=0时的瞬时速度. ∵物体在t=0附近的平均变化率为

22

Δs29+3×?0+Δt-3?-29-3×?0-3?==3Δt-18, ΔtΔt

Δs

当Δt趋于0时,趋于-18,

Δt

∴物体在t=0时的瞬时速度(初速度)为-18 m/s.

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