解（1）乙取胜有两种情况

4一是乙连胜四局，其概率P?1?11???2???16 二是第三局到第六局中乙胜三局，第七局乙胜，

其概率P?C3??1?3?24?2????1?1?2???12?18， 所以乙胜概率为P31?P2?16 （2）比赛进行完7局有两种情况。

一是甲胜，第3局到第6局中甲胜一局，第7局甲胜

3其概率PC14?12????1?1?2???12?13?8

二是乙胜，同（1）中第二种情况，P14?P2?8 所以比赛进行完7局的概率为P13?P4?4 （3）根据题意，?的可能取值为4,5，6,7

22P???4????1??2???11?1?114,P???5??C2???2???2?4,P???6??1?43

??1?1?111?2???C3???2???2?4,P???7??4,所以?的分布列为

? 4 5 6 7 P 14 1114 4 4 ?E??4?14?5?14?6?14?7?14?5.5

20.（14 分）如图：已知开关A、B、C、D闭合的概率均为12求灯E亮的概率

已知在灯E亮的条件下，求开关A闭合的概率。

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解：(1)设开关A、B、C、D闭合分别为事件A、B、C、D，事件E＝{灯E亮}，则P(A)=P(B)=P(C)=P(D)=1/2 所以E＝（A+BC）D

所以灯E亮的概率为P(E)＝P[(A+BC)D]=P(A?BC)P(D)=[1?P(A?BC)]?P(D) = [1?P(A)?P(BC)]?P(D)

={1?[1?P(A)]?[1?P(BC)]}?P(D)={1?[1?P(A)]?[1?P(B)P(C)]}?P(D) =[1?(1?)?(1?(2) P(A|E)=

121115?)]?= 22216P(AE)P[A(A?BC)D]P(AD?ABCD)P(AD)??=

P(E)P(E)P(E)P[(A?BC)D]1()2P(A)P(D)4==2?

5P[(A?BC)D]516法2：P(A|E)=1?P(A|E)1?P(AE)P(ABCD)P(A)P(B)P(C)P(D)?1??1?

P(E)P(E)P(E)1()44=1?2=

551621.（15分）某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是

1，构造数列?an?，使得2??1?当第n次出现正面时?，记Sn?a1?a2?L?an?n?N*?；（1）求S4?2的概an?????1?当第n次出现反面时?率；

（2）求S2?0且S8=2时的概率。

（3）记??S6，求?的概率分布及数学期望。

3?1?解：（1）S4?2,P?C4????2?3?1?1??1??? ?2?4（2）S2?0即前两次同时出现正面或出现反面。

当同时出现正面时，Ｓ2＝２，要Ｓ8＝２，需后六次３次正面３次反面，其概率

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Ｐ2＝

111116?5?453·（）3·（）3＝（）8? ??C6?222223?264当同时出现反面时，Ｓ2＝－２，要Ｓ8＝２，需后六次５次正面1次反面，其概率

1111135·（）5·（）＝（）8?6? ??C6222221285313∴当Ｓ2?0且Ｓ8=2时的概率P= ??64128128Ｐ3＝

（3）在6次投掷中，若出现3次正面3次反面，则S6?0；若出现6次正面或6次反面，则S6?6；若出现5次正面1次反面或5次反面1次正面，则S6?4；若出现4次正面2次反面或4次反面2次正面，则S6?2. 故，???0,2,4,6?

? 0 2 4 6 31P 515 1632163215E??

822.（15分）甲、乙、丙三个人相互传球，由甲开始发球，且每个人传给另两个人的概率相等， （1）求经过4次传球后，球又回到甲手中的概率？ （2）求经过n次传球后，球又回到甲手中的概率？

(3) 经过n次传球后，球又回到甲手中，则不同的传球方法有多少种？ 解：（1）经过4次传球:甲→ → → →甲,分成两类

111?1?? 2241111第二类中间不经过甲的: 甲→ → → →甲, 其概率为1????

2228113所以经过4次传球后，球又回到甲手中的概率为??

488第一类中间经过甲的:甲→ →甲→ →甲,其概率为1?(2)设经过n次传球后，球又回到甲手中的概率为pn 则pn?1?(1?pn)?即pn?1?1 2111??(pn?),p1?0 3231111所以{pn?}为等比数列,公比为?,首项为p1???

3332111n?1111n?1121n所以pn???(?),所以pn??(?)=?(?)

332332332(3) 设经过n次传球后，球在甲手中的不同方法有an种， 经过n次传球不同的传球方法为2种

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n所以经过n次传球后，球又回到甲手中的概率为

an 2n由(2)可知

an2n=

121n?(?) 3322n2?(?1)n 所以an?33法2:设经过n次传球后，球在甲手中的不同方法有an种，球不在甲手中的不同方法有bn种，则有：①a1?0，经过n次传球后共有2n种不同的传球方法；②经过n次传球后球要么在甲手中，要么不在，可得2=an+bn；③第n?1次传球后，球在甲手中，则下一次必不在甲手中（甲传出去有两种可能）；第n?1次传球后，球不在甲手中，则下一次可以传到甲手中（乙可以传给甲或丙，丙可以传给甲或乙，各有两种可能）；④经过n次传球后，球在甲手中有ann?1种方法，等于第n?1次传球后球不在甲手中的方法数bn?1，即an=bn?1，且an?1?bn?1?2.n?1所以an?2?an?1（i）。这是此数列的递推关系式，结合a1?0可得

n2n2n?12n2an???(an?1?)，于是数列{an?}是首项为?，公比为?1的等比数列，即

33332n2n?(?1)n?22n?1an?=??(?1)，解得an?.

333

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