A组 专项基础训练
(时间：35分钟)
1．(2016·天津)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( ) A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 在△ABC中，设A、B、C所对的边分别为a，b，c，则由c2＝a2＋b2－2abcos 1
－?，即b2＋3b－4＝0，解得b＝1(负值舍去)，即AC＝1.故选C，得13＝9＋b2－2×3b×??2?A.
【答案】 A
2．(2017·甘肃定西模拟)在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2＋b2
＝2c2，则cos C的最小值为( )
A.32
B. 22
11C. D．－ 22
2a2＋b2c1【解析】 因为a2＋b2＝2c2，所以由余弦定理可知，c2＝2abcos C，cos C＝＝×
2ab22ab
12ab1
≥×＝.故选C. 22ab2
【答案】 C
3．(2017·河南实验中学模拟)在△ABC中，a＝2，A＝45°，若此三角形有两解，则b的范围为( )
A．2＜b＜22 B．b＞2 1
C．b＜2 D.＜b＜2
2
【解析】 ∵在△ABC中，a＝2，A＝45°，且此三角形有两解，
ab
∴由正弦定理＝＝22，得b＝22sin B，B＋C＝180°－45°＝135°，
sin Asin B由B有两个值，得到这两个值互补，
若B≤45°，则和B互补的角B′≥135°，这样A＋B′≥180°，不成立， ∴45°＜B＜135°.
又若B＝90°，这样补角也是90°，一解， ∴
2
＜sin B＜1，∴2＜b＜22，故选A. 2
【答案】 A
4．(2017·辽宁沈阳模拟)在△ABC中，已知∠A∶∠B＝1∶2，角C的平分线CD把三角形面积分为4∶3两部分，则cos A＝( )
12A. B. 3334C. D. 45
【解析】 ∵∠A∶∠B＝1∶2，即B＝2A， ∴B＞A，∴AC ＞BC.
∵角平分线CD把三角形面积分成4∶3两部分，∴由角平分线定理得BC∶AC＝BD∶AD＝3∶4，
BCACsin A3sin Asin A32∴由正弦定理＝得＝，整理得＝＝，则cos A＝.故选
sin Asin Bsin B4sin 2A2sin Acos A43B.
【答案】 B
5．(2017·云南玉溪一中月考)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若4a
cos B＝，a＝10，△ABC的面积为42，则b＋的值等于( )
5sin A
272A. B．162
2C．82 D．16 4
【解析】 ∵cos B＝，B为三角形内角，
5∴sin B＝3
1－cos2B＝.
5
∵a＝10，△ABC的面积为42，
1
∴acsin B＝42，即3c＝42，解得c＝14， 2
∴由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝100＋196－224＝72，即b＝62. ab62a
再由正弦定理可得＝＝＝102，∴b＋＝162，故选B.
sin Asin B3sin A
5
【答案】 B
6．(2017·福建莆田二十五中月考)若△ABC的周长等于20，面积是103，A＝60°，则a＝________．
1
【解析】 ∵A＝60°，∴S△ABC＝bcsin A＝103，
2即
3
bc＝103，解得bc＝40. 4
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得 a2＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－120， ∵△ABC的周长a＋b＋c＝20，
∴b＋c＝20－a，得a2＝(20－a)2－120，解得a＝7. 【答案】 7
2πb
7．(2016·北京)在△ABC中，∠A＝，a＝3c，则＝________．
3c【解析】 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc·cos A， 2π
将∠A＝，a＝3c代入，
31－?， 可得(3c)2＝b2＋c2－2bc·??2?整理得2c2＝b2＋bc.
∵c≠0，∴等式两边同时除以c2， b?2bb2bc?得2＝2＋2，即2＝?c?＋.
ccc
b
令t＝(t＞0)，有2＝t2＋t，即t2＋t－2＝0，
c解得t＝1或t＝－2(舍去)， b
故＝1. c【答案】 1
8．(2017·甘肃张掖二模)设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且acos B3tan A－bcos A＝c，则的值为________．
5tan B
3
【解析】 由acos B－bcos A＝c及正弦定理可得
5
3
sin Acos B－sin Bcos A＝sin C，
53
即sin Acos B－sin Bcos A＝sin(A＋B)，
5
即5(sin Acos B－sin Bcos A)＝3(sin Acos B＋sin Bcos A) 即sin Acos B＝4sin Bcos A， 因此tan A＝4tan B， tan A所以＝4.
tan B【答案】 4
9．(2016·浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B. (1)证明：A＝2B；
a2
(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．
4
【解析】 (1)证明 由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B， 故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B) ＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B， 于是sin B＝sin(A－B)．
因为A，B∈(0，π)，所以0＜A－B＜π， 所以B＝π－(A－B)或B＝A－B. 因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.
a21a21
(2)由S＝，得absin C＝，故有sin Bsin C＝sin 2B＝sin Bcos B.
4242因为sin B≠0，所以sin C＝cos B. π
又因为B，C∈(0，π)，所以C＝±B.
2ππππ
当B＋C＝时，A＝；当C－B＝时，A＝.
2224ππ
综上，A＝或A＝. 24
10．(2016·湖北宜昌调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝3asin C－ccos A.