∴空气质量等级为“良”的天数占：×100%=55%．

故答案为：20，8，55；

（2）估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共：365×（25%+55%）=292（天）， 答：估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共292天； 补全统计图：

（3）建议不要燃放烟花爆竹．

【点评】此题考查了条形图与扇形图的知识．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 22．（8分）（2016?岳阳）已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根；

（2）已知方程的一个根为x=0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值（要求先化简再求值）． 【分析】（1）找出a，b及c，表示出根的判别式，变形后得到其值大于0，即可得证． （2）把x=0代入方程即可求m的值，然后化简代数式再将m的值代入所求的代数式并求值即可． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0． ∴△=（2m+1）2﹣4m（m+1）=1＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根；

（2）∵x=0是此方程的一个根，

∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0， ∴m=0或m=﹣1，

∵（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=4m2﹣4m+1+9﹣m2+7m﹣5=3m2+3m+5， 把m=0代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=5；

把m=﹣1代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=3×1﹣3+5=5．

【点评】本题考查了根的判别式和一元二次方程的解．解题时，逆用一元二次方程解的定义易得出所求式子的值，在解题时要重视解题思路的逆向分析． 23．（10分）（2016?岳阳）数学活动﹣旋转变换 （1）如图①，在△ABC中，∠ABC=130°，将△ABC绕点C逆时针旋转50°得到△A′B′C，连接BB′，求∠A′B′B的大小；

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（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=150°，AB=3，BC=5，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，连接BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆． （Ⅰ）猜想：直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论； （Ⅱ）连接A′B，求线段A′B的长度；

（3）如图③，在△ABC中，∠ABC=α（90°＜α＜180°），AB=m，BC=n，将△ABC绕点C逆时针旋转2β角度（0°＜2β＜180°）得到△A′B′C，连接A′B和BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆，问：角α与角β满足什么条件时，直线BB′与⊙A′相切，请说明理由，并求此条件下线段A′B的长度（结果用角α或角β的三角函数及字母m、n所组成的式子表示）

【分析】（1）根据∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C，只要求出∠A′B′B即可． （2）（Ⅰ）结论：直线BB′与⊙A′相切．只要证明∠A′B′B=90°即可．（Ⅱ）在Rt△ABB′中，利用勾股定理计算即可． （3）如图③中，当α+β=180°时，直线BB′与⊙A′相切．只要证明∠A′B′B=90°即可解决问题．在△CBB′中求出BB′，再在Rt△A′B′B中利用勾股定理即可． 【解答】解；（1）如图①中，∵△A′B′C是由△ABC旋转得到， ∴∠A′B′C=∠ABC=130°，CB=CB′， ∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=50°， ∴∠CBB′=∠CB′B=65°，

∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=65°． （2）（Ⅰ）结论：直线BB′与⊙A′相切． 理由：如图②中，∵∠A′B′C=∠ABC=150°，CB=CB′， ∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=60°， ∴∠CBB′=∠CB′B=60°，

∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=90°． ∴AB′⊥BB′，

∴直线BB′与⊙A′相切．

（Ⅱ）∵在Rt△ABB′中，∵∠AB′B=90°，BB′=BC=5，AB′=AB=3， ∴A′B=

=

．

（3）如图③中，当α+β=180°时，直线BB′与⊙A′相切． 理由：∵∠A′B′C=∠ABC=α，CB=CB′， ∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=2β， ∴∠CBB′=∠CB′B=

，

∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=α﹣90°+β=180°﹣90°=90°． ∴AB′⊥BB′，

∴直线BB′与⊙A′相切．

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在△CBB′中，∵CB=CB′=n，∠BCB′=2β， ∴BB′=2?nsinβ， 在Rt△A′BB′中，A′B=

=

．

【点评】本题考查圆的综合题、旋转不变性、勾股定理、切线的判定、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题，充分利用旋转不变性，属于中考压轴题．

24．（10分）（2016?岳阳）如图①，直线y=x+4交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B（1，0）． （1）求抛物线F1所表示的二次函数的表达式； （2）若点M是抛物线F1位于第二象限图象上的一点，设四边形MAOC和△BOC的面积分别为S四边形MAOC和S△BOC，记S=S四边形MAOC﹣S△BOC，求S最大时点M的坐标及S的最大值；

（3）如图②，将抛物线F1沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F2，点A、B与（2）中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′，过点M′作M′E⊥x轴于点E，交直线A′C于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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【分析】（1）利用一次函数的解析式求出点A、C的坐标，然后再利用B点坐标即可求出二次函数的解析式；

（2）由于M在抛物线F1上，所以可设M（a，﹣a2﹣a+4），然后分别计算S四边形MAOC和S△BOC，过点M作MP⊥x轴于点P，则S四边形MAOC的值等于△APM的面积与梯形POCM的面积之和．

（3）由于没有说明点P的具体位置，所以需要将点P的位置进行分类讨论，当点P在A′的右边时，此情况是不存在；当点P在A′的左边时，此时∠DA′P=∠CAB′，若以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似，则分为以下两种情况进行讨论：①②

=

．

=

；

【解答】解：（1）令y=0代入y=x+4， ∴x=﹣3， A（﹣3，0），

令x=0，代入y=x+4， ∴y=4， ∴C（0，4），

设抛物线F1的解析式为：y=a（x+3）（x﹣1）， 把C（0，4）代入上式得，a=﹣， ∴y=﹣x2﹣x+4，

（2）如图①，设点M（a，﹣a2﹣a+4） 其中﹣3＜a＜0 ∵B（1，0），C（0，4）， ∴OB=1，OC=4 ∴S△BOC=OB?OC=2， 过点M作MP⊥x轴于点P，

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