∴a＝2，b＝1，∴椭圆C的方程为＋y＝1.

4(2)在△MON中，

x2

2

S△OMN＝·|OM|·|ON|·sin∠MON

1

＝sin∠MON. 2

11

当∠MON＝90°时，sin∠MON有最大值，

22此时点O到直线l的距离为d＝∴m＋n＝2.又∵m＋4n＝4，

??m＋n＝2，

联立?22

?m＋4n＝4，?

2

2

2

2

2

2

12

1

m＋n22

＝

2， 2

4222

解得m＝，n＝，

33

此时点R的坐标为?

16??236??23

，±?或?－，±?，△MON的面积为.

23??33??3

*5.已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：

x y (1)求C1，C2的标准方程；

3 －23 －2 0 4 4 2 2 2→→

(2)是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交于不同的两点M，N，且满足OM⊥ON？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 解 (1)设抛物线C2：y＝2px(p≠0)，

2

y2

则有＝2p(x≠0)，

x据此验证四个点知(3，－23)，(4,4)在C2上， 易求得C2的标准方程为y＝4x.

2

x2y2

设椭圆C1：2＋2＝1(a>b>0)，

ab＝1，??a2

2，)代入得?221

＋??a2b＝1，

22

2

4

把点(－2,0)，(

2

解得???a＝4，?的标准方程为x2

＋y2

?

b2

＝1，

所以C14

＝1.

(2)容易验证当直线l的斜率不存在时，不满足题意． 当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1)， 与C1的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)．

?x2

由??4＋y2＝1，??y＝kx－，

消去y并整理得(1＋4k2

)x2－8k2x＋4(k2

－1)＝0， 2

于是x＋x8k12＝1＋4k2，

x＝k2－

1x21＋4k2

.

所以y1y2

2＝k(x1－1)(x2－1) ＝k2

[x1x2－(x1＋x2)＋1] ＝k2

[4k2－18k2

1＋4k2－1＋4k2＋1]

＝－3k2

1＋4k2，

由→OM⊥→ON，即→OM·→

ON＝0， 得x1x2＋y1y2＝0.(*)

将②③代入(*)式，得k2－1＋4k2－3k2

1＋4k2

＝k2－4

1＋4k2＝0， 解得k＝±2，所以存在直线l满足条件， 且直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋y－2＝0.

① ②

③