故点Q的坐标为(－k，y0)， 1→→
OP·OQ＝(－，0)·(－k，y0)＝1，
k→→
故OP·OQ为定值．
思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；
(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
1
(2016·珠海模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，点F(，0)，直线l：x＝
2
1
－，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l. 2
(1)求动点Q的轨迹C的方程；
(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由．
解 (1)依题意知，点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP， ∴RQ是线段FP的垂直平分线．
∵点Q在线段FP的垂直平分线上，∴|PQ|＝|QF|， 又|PQ|是点Q到直线l的距离，
故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y＝2x(x>0)． (2)弦长|TS|为定值．理由如下：
取曲线C上点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d＝|x0|＝x0，圆的半径r＝|MA|＝则|TS|＝2r－d＝2y0－2x0＋1， ∵点M在曲线C上，∴x0＝，
2
2222
x0－
2＋y0，
2y20
∴|TS|＝2y0－y0＋1＝2是定值． 题型三 探索性问题
22
x2y22
例3 (2015·四川)如图，椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CDab2
→→
上，且PC·PD＝－1.
(1)求椭圆E的方程；
→→
(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得OA·OB→→
＋λPA·PB为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b)， →→
又点P的坐标为(0,1)，且PC·PD＝－1，
??c2于是?＝，
a2??a－b＝c，
2
2
2
1－b＝－1，
2
x2y2
解得a＝2，b＝2，
所以椭圆E的方程为＋＝1.
42
(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
xy??＋＝1，联立?42
??y＝kx＋1，
22
2
得(2k＋1)x＋4kx－2＝0，
22
其判别式Δ＝(4k)＋8(2k＋1)＞0， 所以x1＋x2＝－
4k2
，x1x2＝－2， 2
2k＋12k＋1
2
→→→→
从而，OA·OB＋λPA·PB
＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
2
＝
－2λ－
k2＋－2λ－2
2k＋1
λ－1
＝－2－λ－2.
2k＋1
λ－1
所以当λ＝1时，－2－λ－2＝－3，
2k＋1→→→→
此时OA·OB＋λPA·PB＝－3为定值．
当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，
→→→→→→→→
此时，OA·OB＋λPA·PB＝OC·OD＋PC·PD＝－2－1＝－3. →→→→
故存在常数λ＝1，使得OA·OB＋λPA·PB为定值－3. 思维升华 解决探索性问题的注意事项
探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法．
12
(2016·绍兴教学质量调测)已知A(1,2)，B(，－1)是抛物线y＝ax(a>0)上的
4
两个点，过点A，B引抛物线的两条弦AE，BF. (1)求实数a的值；
(2)若直线AE与BF的斜率互为相反数，且A，B两点在直线EF的两侧，直线EF的斜率是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由． 解 (1)把点A(1,2)代入抛物线方程得a＝4. (2)直线EF的斜率是定值，理由如下：
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，直线AE：y＝k(x－1)＋2， 1
则直线BF：y＝－k(x－)－1，
4联立方程组?
22
?y＝k?
2
x－＋2，
??y＝4x，
2
2
消去y，
得kx＋(4k－2k－4)x＋(2－k)＝0， ∴x1＝
－k2
k2
－2k＋4k，y1＝k(x1－1)＋2＝， 2
2
k∴E(－k2
k2
－2k＋4k，)， 2
2
k1??y＝－kx－－1，
4联立方程组?
??y2＝4x，
消去y，
121222
得kx－(k－2k＋4)x＋(1－k)＝0，
241
∴x2＝4得F(故kEF＝
25．设而不求，整体代换
－k216k－k24k2
2
，x2＝
－k24k2
1k－4k，y2＝－k(x2－)－1＝2，
4k2
k2－4k，2)．
ky1－y2
＝－4. x1－x2
x2y23
典例 (15分)椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左，右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且
ab2
垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. (1)求椭圆C的方程；
(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；
(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，若k2≠0，证明
1
kk1kk2
＋1
为定值，并求出这个定值．
思想方法指导 对题目涉及的变量巧妙地引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值． 规范解答
x2y2b2
解 (1)由于c＝a－b，将x＝－c代入椭圆方程2＋2＝1，得y＝±.
aba2
2
2
2b2
由题意知＝1，即a＝2b.
2
a又e＝＝ca3
，所以a＝2，b＝1. 2