第3课时 定点、定值、探索性问题
题型一 定点问题
x2y2
例1 (2016·长沙模拟)已知椭圆2＋2＝1(a>0，b>0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长
ab的平方依次成等差数列．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、
N，各点均不重合且满足PM＝λ1MQ，PN＝λ2NQ.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l过定点并求此定点．
(1)解 设椭圆的焦距为2c，由题意知b＝1，且(2a)＋(2b)＝2(2c)， 又a＝b＋c，∴a＝3. ∴椭圆的方程为＋y＝1.
3
(2)证明 由题意设P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，
2
2
2
2
2
2
2
→→→→
x2
2
N(x2，y2)，设l方程为x＝t(y－m)，
→→
由PM＝λ1MQ知(x1，y1－m)＝λ1(x0－x1，－y1)， ∴y1－m＝－y1λ1，由题意y1≠0，∴λ1＝－1.
my1
m→→
同理由PN＝λ2NQ知λ2＝－1.
y2
∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0，
??x＋3y＝3，联立?
?x＝ty－m?
2
2
22
①
24
得(t＋3)y－2mty＋tm－3＝0，
2
22
222
∴由题意知Δ＝4mt－4(t＋3)(tm－3)>0， 2mttm－3且有y1＋y2＝2，y1y2＝2，
t＋3t＋3③代入①得tm－3＋2mt＝0， ∴(mt)＝1，
由题意mt<0，∴mt＝－1，满足②，
2
22
22
2
22
③
②
得直线l方程为x＝ty＋1，过定点(1,0)，即Q为定点． 思维升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
(2017·河北衡水中学调研)如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，
离心率e＝
22，F是右焦点，A是右顶点，B是椭圆上一点，BF⊥x轴，|BF|＝. 22
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l：x＝ty＋λ是椭圆C的一条切线，点M(－2，y1)，点N(2，y2)是切线l上两个点，证明：当t，λ变化时，以MN为直径的圆过x轴上的定点，并求出定点坐标．
x2y2
解 (1)由题意设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，
ab焦点F(c,0)，因为＝
① ② ③
ca2， 2
2
2c1
将点B(c，)的坐标代入方程①得2＋2＝1.
2a2b由②③结合a＝b＋c，得a＝2，b＝1. 故所求椭圆方程为＋y＝1.
2
2
2
2
x2
2
x??＋y2＝1，
(2)由?2
??x＝ty＋λ
2
得(2＋t)y＋2tλy＋λ－2＝0.
222
因为l为切线，所以Δ＝(2tλ)－4(t＋2)(λ－2)＝0， 即t－λ＋2＝0.
设圆与x轴的交点为T(x0,0)，
→→
则TM＝(－2－x0，y1)，TN＝(2－x0，y2)． 因为MN为圆的直径， →→2
故TM·TN＝x0－2＋y1y2＝0. 当t＝0时，不符合题意，故t≠0. －2－λ2－λ
因为y1＝，y2＝，
⑤
2
2
222
④
ttλ－2
所以y1y2＝2，代入⑤结合④得
2
tx0－→→
TM·TN＝x20－＝
t2
t2
，
2
t2＋λ2－2
t2
要使上式为零，当且仅当x0＝1，解得x0＝±1.
所以T为定点，故动圆过x轴上的定点(－1,0)与(1,0)， 即椭圆的两个焦点． 题型二 定值问题
例2 椭圆有两顶点A(－1，0)，B(1,0)，过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.
2
3
(1)当|CD|＝2时，求直线l的方程；
2
→→
(2)当点P异于A，B两点时，求证：OP·OQ为定值． (1)解 ∵椭圆的焦点在y轴上，
y2x2
故设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)，
ab由已知得b＝1，c＝1，∴a＝2， ∴椭圆的方程为＋x＝1.
2
当直线l的斜率不存在时，|CD|＝22，与题意不符； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋1，
y2
2
C(x1，y1)，D(x2，y2)． y＝kx＋1，??2
联立?y2
＋x＝1，??2
则x1＋x2＝－
2
化简得(k＋2)x＋2kx－1＝0,
22
2k1
，x1·x2＝－2. k＋2k＋2
∴|CD|＝1＋k＝1＋k·＝22
22
2
x1＋x2
－2kk＋2
2
2
2
－4x1x2
1 k＋2
2
＋4·
k2＋k＋2
3
＝2， 2
解得k＝±2.
∴直线l的方程为2x－y＋1＝0或2x＋y－1＝0. (2)证明 当直线l的斜率不存在时，与题意不符．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0，k≠±1)，C(x1，y1)，D(x2，y2)， 1
∴点P的坐标为(－，0)．
k由(1)知x1＋x2＝－
2k1
，x1x2＝－2， k＋2k＋2
2
且直线AC的方程为y＝直线BD的方程为y＝
y1
x1＋1
(x＋1)，
y2
x2－1
(x－1)，
将两直线方程联立，消去y， 得
x＋1y2x1＋
＝x－1y1x2－
.
∵－1 与异号， x－1y1 x＋12y2x1＋2()＝2x－1y1x2－ 2－2x2x1＋＝2·2－2x1x2－＝1－＋x1 －x1 22 22 22 ＋x2 －x2 2k1 －2 k＋2k＋2k－12 ＝＝()， 2k1k＋11＋2－2 k＋2k＋2 y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1 ＝k(－＝－∵∴ 2 12k)＋k(－2)＋1 k＋2k＋2 2 ＋k2k＋ 2 k－k＋ ， k－1x＋1k－1 与y1y2异号，∴与同号， k＋1x－1k＋1x＋1k－1 ＝，解得x＝－k， x－1k＋1