解得m＝
111115，∴P（，） 4416
143．（湖北襄阳）如图，在矩形OABC中，AO＝10，AB＝8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使
点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y＝ax＋bx＋c经过O，D，C三点．
（1）求AD的长及抛物线的解析式；
（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P，Q，C为顶点的三角形与△ADE相似？ 下面的（3）、（4）、（5）题为三选一的选做题，考生根据情况选做其中一个即可，不必都做：
（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由；
（4）是否存在某一时刻t，使线段PQ的长度最小？若存在，请直接写出此时t的值和PQ长的最小值；若不存在，请说明理由；
（5）是否存在某一时刻t，使△OPQ是等腰三角形？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． y D B A
E O C x 解：（1）∵四边形ABCO为矩形 ∴∠OAB＝∠AOC＝∠B＝90°，AB＝CO＝8，AO＝BC＝10 由题意得，△BDC≌△EDC ∴∠DEC＝∠B＝90°，EC＝BC＝10，ED＝BD
在Rt△EOC中，由勾股定理得EO＝6，∴AE＝10－6＝4 设AD＝x，则BD＝DE＝8－x
y 222
在Rt△ADE中，由勾股定理得x＋4＝(8－x)
D B A 解得x＝3，∴AD＝3
2
∵抛物线y＝ax＋bx＋c过点O（0，0），∴c＝0
2
∵抛物线y＝ax＋bx＋c过点D（3，10），C（8，0）
2
E P O Q C x ?9a＋3b＝10?∴? 解得?64a＋8b＝0?
?
?16 ?b＝3
a＝－
23
2216
∴抛物线的解析式为y＝－x＋x
33
（2）∵∠AED＋∠OEC＝90°，∠OCE＋∠OEC＝90°
∴∠AED＝∠OCE
由（1）可得AD＝3，AE＝4，DE＝5 而QC＝t，PE＝2t，∴PC＝10－2t 当∠PQC＝∠DAE＝90°时，△QPC∽△ADE ∴
y A E P O Q C x D B QCAEt440
＝，即＝，解得t＝ PCDE10－2t513
当∠QPC＝∠DAE＝90°时，△PQC∽△ADE QCDEt525∴＝，即＝，解得t＝ PCAE10－2t47
∴当t＝
4025
或时，以P，Q，C为顶点的三角形与△ADE相似 137
（3）存在．①M1（－4，－32），N1（4，－38）
②M2（12，－32），N2（4，－26）
3214③M3（4，），N3（4，－）
33
（4）存在．t＝
1406205，PQ长的最小值为 4141
（5）存在．t1＝
25－25525＋2554014
，t2＝，t3＝，t4＝ 92159
144．（湖北模拟）抛物线y＝ax和直线y＝kx＋b（k为正常数）交于点A和点B，其中点A的坐标是（－2，
1），过点A作x轴的平行线交抛物线于点C，点D是抛物线上B、C之间的一个动点，设其横坐标为t，过点D作坐标轴的平行线分别交直线AB于点E、F，设DE＝m，DF＝n． （1）填空：a＝____________，点C的坐标是____________；
2
（2）当点D可与B、C重合时，若k＝
1
，求t的取值范围，并确定t为何值时，m的值最大； 2
（3）当点D不与B、C重合时，若点D运动过程中可以得到m的最大值，求k的取值范围，并判断当m为最大值时n的值是否最大，说明理由．
y B
F
E D
A C
x O 1
（1） （2，1）
4
（2）∵直线y＝∴y＝当
1
x＋2 2
1
x＋b过点（－2，1），∴b＝2 2
121
x＝x＋2时，x1＝－2，x2＝4 42
∴B（4，4）
∵yD＝yE＝
12
t，点E在直线AB上 4
12112
∴t＝x＋2，xE＝t－4 422
∴DE＝m＝t－(
1212192
t－4)＝－t＋t＋4＝－(t－1)＋ 2222
∵点D是抛物线上B、C之间的一个动点，∴2≤t≤4
y B F ∴1≤t－1≤3，1≤(t－1)≤9
2
192
∴0≤－(t－1)＋≤4
22
∴m最大为4，此时t＝2
（3）∵直线y＝kx＋b过点A（－2，1），∴b＝2k＋1 ∴直线AB的表达式为y＝kx＋2k＋1 联立y＝kx＋2k＋1和y＝得方程
E A O C D x
12x 4
12
x＝kx＋2k＋1，解得：x1＝－2，x2＝4k＋2 4
即xB＝4k＋2，∴2＜t＜4k＋2
12
由D（t，t），yD＝yE，
4
当
12121t＝kx＋2k＋1时，得x＝t－2－ 44kk
∴E（
12112
t－2－，t） 4kk4
k＋2k＋112112
∴m＝－t＋t＋2＋＝－(t－2k)＋
4kk4kk
2
k＋2k＋1
①当2＜2k＜4k＋2，即k＞1时，m有最大值
k
2
②当2k≤2＜4k＋2，即0＜k≤1时，m随t的增大而减小
∴当t＝2时，m有最小值4，但点D不与点C重合，即t≠2，故不可能 ∴k＞1时，m的值最大
∵n＝kt＋2k＋1－∴当t＝－
k
1212
t＝－t＋kt＋2k＋1 44
12×(－)
4
＝2k时，n的值最大
145．（湖北模拟）在梯形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AC，∠B＝45°，AD＝2，BC＝6，以BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点A在y轴上． （1）求过A、D、C三点的抛物线的解析式；
（2）求△ADC的外接圆的圆心M的坐标，并求⊙M的半径；
（3）E为抛物线对称轴上一点，F为y轴上一点，求当ED＋EC＋FD＋FC最小时EF的长；
（4）若点Q在射线CB上运动，点P在对称轴左侧的抛物线上运动．是否存在这样的点P和点Q，使得以P、Q、C为顶点的三角形与△ADC相似？若存在，直接写出P、Q的坐标，若不存在，请说明理由．
B 解：（1）由题意知C（3，0），A（0，3），D（2，3） 设过A、D、C三点的抛物线的解析式为y＝ax＋bx＋c
y A D O C x 2
c＝3a＝－1????
∴?4a＋2b＋c＝3 解得?b＝2 ???9a＋3b＋c＝0?c＝3
∴y＝－x＋2x＋3 （2）连接MC
∵M是△ADC的外接圆的圆心，且A、D关于对称轴对称 ∴M是对称轴与AC中垂线的交点
由（1）知，OA＝OC＝3，∴△AOC是等腰直角三角形 ∴∠MOC＝45°，∴M（1，1）
2
y A M B O C x D ∴MC＝2＋1＝5 即⊙M的半径为5
（3）由对称性可知：当ED＋EC＋FD＋FC最小时，E为对称轴与AC交点，F为BD与Y轴交点 易得E（1，2）
y 3399
由△BFO∽△DFA，得FO＝AO＝AO＝，∴F（0，）
2555A D 92262F E ∴EF＝1＋(2－)＝ 55
22
（4）存在
P1（－2，－5），Q1（－
1
，0）或（－12，0） 3
B O C x
P2（0，3），Q2（1，0）或（－6，0） P3（－P4（－
1719
，），Q3（，0）或（－，0） 24124
39315，－），Q4（－，0）或（－，0） 2444
提示：由A（0，3），D（2，3），C（3，0）
可得AD＝2，AC＝32，DC＝10
假设存在，显然∠QCP＜90°，∴∠QCP＝45°或∠QCP＝∠ACD 当∠QCP＝45°时，易得直线CP的解析式为y＝x－3或y＝－x＋3
当直线CP的解析式为y＝x－3时，可求得P1（－2，－5），此时PC＝52 设CQ＝x，则
x
52＝
2
32
或
x
52
＝
3210
，∴x＝或x＝15 23