[典例] 已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－差数列．
证明：[法一 定义法] ∵bn＋1＝1
＝
an＋1－2?
1
＝4??4－?－2
4等差数列的判定与证明 1.求证：数列{bn}是等an－2
an－1
(n>1)，记bn＝
anan－an－2an－
，
?an?
∴bn＋1－bn＝又b1＝
anan－
－1＝an－21
＝，为常数(n∈N＋)． 2
11＝， a1－22
11
∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
22[法二 等差中项法] ∵bn＝
1
， an－21
＝
an＋1－2?
1
＝4??4－?－2
∴bn＋1＝anan－
. ?an?
∴bn＋2＝an＋1an＋1－
＝
an－1
. 4a－2n??2?4－－2??an?
＝
4－
4
an∴bn＋bn＋2－2bn＋1＝
1an－1＋－2×an－2an－2anan－
＝0.
∴bn＋bn＋2＝2bn＋1(n∈N＋)， ∴数列{bn}是等差数列．
等差数列判定的常用的2种方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N＋)?{an}为等差数列． (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)?{an}为等差数列． [活学活用] 111
已知，，成等差数列，并且a＋c，a－c，a＋c－2b均为正数，求证：lg(a＋c)，
abclg(a－c)，lg(a＋c－2b)也成等差数列．
111211解：∵，，成等差数列，∴＝＋，
abcbac2a＋c∴＝，即2ac＝b(a＋c)．
bac(a＋c)(a＋c－2b)＝(a＋c)－2b(a＋c)＝(a＋c)－2×2ac＝a＋c＋2ac－4ac＝(a－
2222
c)2.
∵a＋c，a＋c－2b，a－c均为正数，上式左右两边同时取对数得，lg[(a＋c)(a＋c－2b)]＝lg(a－c)，即lg(a＋c)＋lg(a＋c－2b)＝2lg(a－c)，
∴lg(a＋c)，lg(a－c)，lg(a＋c－2b)成等差数列．
层级一 学业水平达标
1．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－2n，则它的公差为( ) A．2 C．－2
B．3 D．－3
2
解析：选C ∵an＝3－2n＝1＋(n－1)×(－2)，∴d＝－2，故选C. 1
2．若等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝35，则n＝( )
3A．50 C．52
B．51 D．53
12
解析：选D 依题意，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝4，代入a1＝，得d＝. 331221
所以an＝a1＋(n－1)d＝＋(n－1)×＝n－，令an＝35，解得n＝53.
3333
3．设x是a与b的等差中项，x是a与－b的等差中项，则a，b的关系是( ) A．a＝－b C．a＝－b或a＝3b
解析：选C 由等差中项的定义知：x＝ B．a＝3b D．a＝b＝0
2
2
2
a＋b2
，
x＝∴
2
a2－b2
22
，
22
，即a－2ab－3b＝0. ??2?
a2－b2?a＋b?2
＝?
故a＝－b或a＝3b.
4．数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则a2 015的值是( ) A．1 006 C．1 008
B．1 007 D．1 009
1
解析：选D 由2an＋1＝2an＋1，得an＋1－an＝，所以{an}是等差数列，首项a1＝2，公差d21＝， 2
1n＋3
所以an＝2＋(n－1)＝，
222 015＋3
所以a2 015＝＝1 009.
2
5．已知数列3,9,15，…，3(2n－1)，…，那么81是数列的( ) A．第12项 C．第14项
B．第13项 D．第15项
解析：选C an＝3(2n－1)＝6n－3，由6n－3＝81，得n＝14. 6．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________. 解析：设等差数列{an}的公差为d， 由题意，得?
?a1＋2d＝7，?
??a1＋4d＝a1＋d＋6.
??a1＝3，
解得?
??d＝2.
∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋(n－1)×2＝2n＋1. ∴a6＝2×6＋1＝13. 答案：13
7．已知数列{an}中，a1＝3，an＝an－1＋3(n≥2)，则an＝________. 解析：因为n≥2时，an－an－1＝3，
所以{an}是以a1＝3为首项，公差d＝3的等差数列．所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋3(n－1)＝3n.
答案：3n
8．已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝________. 解析：根据题意得：
a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1，
∴a1＝1.
又a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0， 1∴d＝－.
21
答案：－
2
9．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝
?1?2an，则数列??是否为等差数列？说明理由． an＋2?an?
?1?
解：数列??是等差数列，理由如下：
?an?
因为a1＝2，an＋1＝所以所以
11＝2an， an＋2
an＋1
an＋211
＝＋， 2an2an11
－＝(常数)． an＋1an2
?1?111
所以??是以＝为首项，公差为的等差数列．
a122?an?
10．若
111222，，是等差数列，求证：a，b，c成等差数列． b＋ca＋ca＋b1122b＋a＋c2＋＝，通分有＝. b＋ca＋ba＋cb＋ca＋ba＋c2
2
2
证明：由已知得
进一步变形有2(b＋c)(a＋b)＝(2b＋a＋c)(a＋c)，整理，得a＋c＝2b， 所以a，b，c成等差数列．
层级二 应试能力达标
1．若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q为( ) A．p＋q C．－(p＋q)
B．0 D.
2
2
2
p＋q2
解析：选B ∵ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d， ∴?
?a1＋???a1＋
p－q－
d＝q， ①d＝p. ②
①－②，得(p－q)d＝q－p. ∵p≠q，∴d＝－1.
代入①，有a1＋(p－1)×(－1)＝q，∴a1＝p＋q－1. ∴ap＋q＝a1＋(p＋q－1)d＝p＋q－1＋(p＋q－1)×(－1)＝0.
2．已知x≠y，且两个数列x，a1，a2，…，am，y与x，b1，b2，…，bn，y各自都成等差数列，则
a2－a1
等于( ) b2－b1
B. D.
A. C. mnnmm＋1
n＋1n＋1
m＋1